x^3 = 2x + y (1) và y^3 = 2y + x (2)
(1) - (2) vế theo vế: x^3 - y^3 = x - y
<=> (x - y)(x^2 + xy + y^2) - (x - y) = 0
<=> (x - y)(x^2 + xy + y^2 - 1) = 0
<=> x = y hay x^2 + xy + y^2 - 1 = 0
Với x = y => x^3 = 2x + x <=> x^3 - 3x = 0
<=> x = 0 hay x = √3 hay x = - √3
<=> y = 0 hay y = √3 hay y = - √3
Với x^2 + xy + y^2 - 1 = 0 (*):
(1) <=> y = x^3 - 2x thế vào (*):
x^2 + x(x^3 - 2x) + (x^3 - 2x)^2 - 1 = 0
<=> x^2 + x^4 - 2x^2 + x^6 - 4x^4 + 4x^2 - 1 = 0
<=> x^6 - 3x^4 + 3x^2 - 1 = 0
<=> x^3 - 3x + 3/x - 1/x^3 = 0 (**) (x = 0 không thỏa)
Đặt t = x - 1/x
=> t^3 = x^3 - 1/x^3 - 3(x - 1/x)
<=> t^3 + 3t = x^3 - 1/x^3
(**) <=> t^3 + 3t - 3t = 0 <=> t^3 = 0
<=> t = 0 <=> x - 1/x = 0 <=> x^2 - 1 = 0
<=> x = 1 hay x = -1
<=> y = -1 hay y = 1
Vậy (x; y) thuộc
{(1; -1), (-1; 1); (0; 0); (√3; √3); (- √3; - √3)}