+ Gọi F, H lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ E,M xuống AC

Tam giác ABC vuông cân tại A nên đặt AB=AC=a thì BC=√2aBC=2a

Ta có MH//AB (vì cùng vuông góc với AC) nên ta có:

MHAB=HCAC=CHBC=12⇒MH=HC=a2MHAB=HCAC=CHBC=12⇒MH=HC=a2

Xét tam giác KHM vuông tại H và tam giác GAC vuông tại A có:

ˆMKH=ˆAGC(=900−ˆGCA)MKH^=AGC^(=900−GCA^)

⇒ΔKHM∼GAC⇒KHMH=GAAC=GAAB=13⇒KH=MH3=a6⇒ΔKHM∼GAC⇒KHMH=GAAC=GAAB=13⇒KH=MH3=a6

Khi đó: KA=HA−HK=(AC−HC)−HK=a3=AC3KA=HA−HK=(AC−HC)−HK=a3=AC3 hay KAAC=13=GAABKAAC=13=GAAB

Suy ra GK//BC

⇒EFMH=KEEM=GKMC=BC3:BC2=23⇒EF=23MH=a5⇒EFMH=KEEM=GKMC=BC3:BC2=23⇒EF=23MH=a5

Lại có: KFKH=EFMH=23⇒KF=25KH=a15KFKH=EFMH=23⇒KF=25KH=a15

Ta có: DADH=GAMH=a3:a2=23⇒DAAH=2⇒DA=aDADH=GAMH=a3:a2=23⇒DAAH=2⇒DA=a
Tam giác DEF vuông tại F có: DE2=DF2+EF2=(DK+AK+KF)2+EF2=2a2=BC2⇒DE=BCDE2=DF2+EF2=(DK+AK+KF)2+EF2=2a2=BC2⇒DE=BC

+ Theo câu a có: DGDM=DADH=23⇒SDPM=32SDPGDGDM=DADH=23⇒SDPM=32SDPG

Vì KEEM=23⇒SKEP=23SMEPKEEM=23⇒SKEP=23SMEP

Mà hai tam giác chung đáy EP nên chiều cao hạ từ K bằng 2323 chiều cao hạ từ M

⇒SDPK=23SDPM=SDPG⇒SDPK=23SDPM=SDPG

Mà hai tam giác có chung chiều cao hạ từ D nên đáy PK=PG

Hay P là trung điểm KG

Tam giác KGE vuông tại E có P là trung điểm KG nên PG=PK=PEPG=PK=PE