Gọi MM là trung điểm của BC,GBC,G là trọng tâm của ΔABC⇒A′G⊥(ABC)ΔABC⇒A′G⊥(ABC) (vì giả thiết cho A′ABCA′ABC là hình chóp tam giác đều: đáy là tam giác đều, các mặt bên( hoặc là cạnh bên) bằng nhau, hình chiếu từ đỉnh chóp xuống đáy trùng với tâm tam giác đều) khi đó ta có:

{BC⊥A′G (do A′G⊥(ABC))BC⊥AM (tam giác ABC đều M là trung điểm BC){BC⊥A′G (do A′G⊥(ABC))BC⊥AM (tam giác ABC đều M là trung điểm BC)

⇒BC⊥(A'AM)⇒BC⊥(A′AM) 

Trong ΔA′AMΔA′AM dựng MH⊥AA'MH⊥AA′ suy ra MHMH là đoạn vuông góc chung của BC và AA’

Suy ra MH=a√34MH=a34

Ta có: d(G;AA')=23d(M;AA')d(G;AA′)=23d(M;AA′) (do GA=23MAGA=23MA)

=a√36=d=a36=d

Áp dụng hệ thức lượng vào ΔA′GA⊥GΔA′GA⊥G độ dài đường cao hạ từ đỉnh G là dd

⇒1d²=1GA²+1A'G²⇒1d²=1GA²+1A′G² ⇒A'G=a3⇒A′G=a3

Vậy VABC.A'B'C'=SABC.A'G=a.asin60o2.a3=a³√312VABC.A′B′C′=SABC.A′G=a.asin⁡60o2.a3=a³312

Mặt khác VA′BB′C′C=23VABC.A′B′C′=a³√318VA′BB′C′C=23VABC.A′B′C′=a³318.