a.Vì ABCD là hbh (gt)

=>AB=CD (2 cạnh đối bằng nhau)

và BC=DA (2 cạnh đối bằng nhau)

Lại có: E, F ,G , H lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC , CD , DA (gt)

=>AE=EB=CG=GD

và BF=FC=DH=HA

Xét ΔHAE và ΔFCG có:

             HA=FC (cmt)

             HAE=FCG (2 góc đối bằng nhau)

             AE=CG (cmt)

=>ΔHAE=ΔFCG (c.g.c)

=>HE=FG (1) (2 cạnh tương ứng)

Xét ΔFBE và ΔHDG có:

             BE=DG (cmt)

            FBE=HDG (2 góc đối bằng nhau)

             FB=HD (cmt)

=>ΔFBE=ΔHDG (c.g.c)

=>FE=HD (2) (2 cạnh tương ứng)

Từ (1) và (2) => EFGH là hình bình hành.

b.-Vì ABCD là hcn 

=>A=B (=90 độ)

Xét ΔHAE và ΔFBE có:

       AE=BE (cm câu a)

       HAE=FBE (vì A=B)

       HA=FB (cm câu a)

=>ΔHAE=ΔFBE (c.g.c)

=>HE=FE (3) (2 cạnh tương ứng)

Từ (1), (2) và (3) =>HE=FG=FE=HD

=>Tứ giác EFGH là hình thoi

Vậy khi ABCD là hcn thì EFGH là hình thoi.

-Vì ABCD là thoi

=>AB=DC (4)

Xét tứ giác AEGD có: AE=GD (cm câu a)

                                   AE//GD (do AB//DC)

=>Tứ giác AEGD là hbh

=>EG=AD (5) (hai cạnh đối bằng nhau)

Xét tứ giác DHFC có: DH=FC (cm câu a)

                                  DH//FC (do DA//BC)

=>Tứ giác DHFC là hbh

=>HF=DC (6) (hai cạnh đối bằng nhau)

Từ (4), (5) và (6) =>EG=HF

Mà EFGH là hình bình hành (cm câu a)

=>Hbh EFGH là hình chứ nhật

Vậy khi ABCD là hình thoi thì EFGH là hình chữ nhật.