Bài 8. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) \(f(x) = 2x^3– 3x^2– 12x + 1\) trên đoạn \(\left[ { - 2,{5 \over 2}} \right]\)
b) \( f(x) = x^2lnx\) trên đoạn \(\left[ {1,e} \right]\)
c) \(f(x) = xe^{-x}\) trên nửa khoảng \([0, +∞)\)
d) \(f(x) = 2sinx + sin2x\) trên đoạn \(\left[ {0,{{3\pi } \over 2}} \right]\)
Trả lời:
a) \(f(x) = 2x^3– 3x^2– 12x + 1 ⇒ f’(x) = 6x^2 – 6x – 12\)
\(f’(x) = 0 ⇔ x =-1\) hoặc \(x=2\)
So sánh các giá trị: 
\(f(-2) = -3\); \( f(-1) = 8\);
\(f(2) = -19\), \(f({5 \over 2}) = {{ - 33} \over 2}\)
Suy ra:
\(\eqalign{
& \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 2,{5 \over 2}} \right]} f(x) = f( - 1) = 8 \cr
& \mathop {min}\limits_{x \in \left[ { - 2,{5 \over 2}} \right]} f(x) = f(2) = - 19 \cr} \)
b) \(f(x) = x^2 lnx ⇒ f’(x)= 2xlnx + x > 0, ∀ x ∈ [1, e]\) nên \(f(x)\) đồng biến.
Do đó:
\(\eqalign{
& \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {1,e} \right]} f(x) = f(e) = {e^2} \cr
& \mathop {min}\limits_{x \in \left[ {1,e} \right]} f(x) = f(1) = 0 \cr} \)
 c) \(f(x)= xe^{-x}⇒ f’(x)=e^{-x} –xe^{-x} = (1 – x)e^{-x}\) nên:
\(f’(x) = 0 ⇔ x = 1, f’(x) > 0, ∀x ∈ (0, 1)\) và \(f’(x) < 0, ∀x ∈ (1, +∞)\)
nên:
 \(\mathop {\max }\limits_{x \in {\rm{[}}0, + \infty )} f(x) = f(1) = {1 \over e}\)
Ngoài ra \(f(x)= xe^{-x} > 0, ∀ x ∈ (0, +∞)\) và \(f(0) = 0\) suy ra
 \(\mathop {\min}\limits_{x \in {\rm{[}}0, + \infty )} f(x) = f(0) = 0\)
d) \(f(x) = 2sinx + sin2x  ⇒ f’(x)= 2cosx + 2cos2x\)
\(f’(x) = 0 ⇔ cos 2x = -cosx ⇔ 2x = ± (π – x) + k2π\)
 ⇔ \(x \in \left\{ { - \pi  + k2\pi ;{\pi  \over 3} + {{k2\pi } \over 3}} \right\}\)
Trong khoảng \(\left[ {0,{{3\pi } \over 2}} \right]\) , phương trình \(f’(x) = 0\) chỉ có hai nghiệm là \({x_1} = {\pi  \over 3};{x_2} = \pi \)
So sánh bốn giá trị : \(f(0) = 0\); \(f({\pi  \over 3}) = {{3\sqrt 3 } \over 2};f(\pi ) = 0;f({{3\pi } \over 2}) =  - 2\)
Suy ra:
\(\eqalign{
& \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {0,{{3\pi } \over 2}} \right]} f(x) = f({\pi \over 3}) = {{3\sqrt 3 } \over 2} \cr
& \mathop {min}\limits_{x \in \left[ {0,{{3\pi } \over 2}} \right]} f(x) = f({{3\pi } \over 2}) = - 2 \cr} \)