Bài 7. Cho điểm \(A(1 ; 0 ; 0)\) và đường thẳng \(∆\): \(\left\{\begin{matrix} x=2+t & \\ y=1+2t & \\ z=t & \end{matrix}\right.\).
a) Tìm tọa độ điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) trên đường thẳng \(∆\).
b) Tìm tọa độ điểm \(A'\) đối xứng với \(A\) qua đường thẳng \(∆\).
Giải.
a) Đường thẳng \(∆\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}(1 ; 2 ; 1)\). \(H ∈ ∆\) nên \(H(2 + t ; 1 + 2t ; t)\).
Điểm \(H ∈ ∆\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(∆\) khi và chỉ khi  \(\overrightarrow{AH}\bot\)  \(\overrightarrow{u}\).
Ta có \(\overrightarrow{AH}(1+t ; 1 + 2t ; t)\) nên:
\(\overrightarrow{AH}\) ⊥ \(\overrightarrow{u}\)  ⇔ \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{AH}\) = 0.
                   ⇔ \(1 + t + 2(1 + 2t) + t = 0\)
                   ⇔ \(6t + 3 = 0   ⇔ t =  -\frac{1}{2}\).
                   ⇔ \(H\left (\frac{3}{2};0;-\frac{1}{2} \right )\).
b) Gọi \(A'\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(∆\) và \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(∆\)  thì \(H\) là trung điểm của \(AA'\); vì vậy tọa độ của \(H\) là trung bình cộng các tọa độ tương ứng của \(A\) và \(A'\).
Gọi \(A'(x ; y ; z)\) ta có:
\(\frac{x+1}{2}=\frac{3}{2}  => x = 2; y = 0; z = -1\).
Vậy \(A'(2 ; 0 ; -1)\).