a)ta có ΔΔABC cân tại A(AB=AC)

mà AH là đường trung tuyến(H là trung điểm BC)

nên AH là đường cao,đường phân giác,đường trung trực

xét ΔΔvuông ABH và ΔΔvuông ACH(ah là đường cao) có:

AB=AC(gt)

AH là cạnh chung

nên ΔΔABH=ΔΔACH

b)xét ΔΔvuông AHE và ΔΔvuông AHF có

AH là cạnh chung

góc EAH=góc FAH(AH là đường phân giác)

nên ΔΔAHE=ΔΔAHF

c)xét ΔΔAEN và ΔΔAFM có

AE=AF(ΔΔAHE=ΔΔAHF)

góc EAH=góc FAH(AH là đường phân giác)

góc NEA=góc MFA(ΔΔAHE=ΔΔAHF)

nên ΔΔAEN=ΔΔAFM

nên AM=AN

mà AE=AF 

nên ME=NF(chứng minh xong)

xét ΔΔMEN và ΔΔMFN có

ME=NF

EF là cạnh chung

góc FME=góc ENF(ΔΔAEN=ΔΔAFM)

nên ΔΔMEN=ΔΔMFN

nên MF=NE

d)ta có ΔΔAMN cân tại A(AM=AN)

nên góc AMN=góc ANM

mà góc AEN=góc AFM(ΔΔAEN=ΔΔAFM)

nên góc ENM=góc FMN

nên 2 góc HMN=góc ENM+góc FMN

ta có ΔΔHEF cân tại H(HE=HF)

nên góc HEF=góc HFE=2 góc HFE

ta có 2 góc HEF+góc EHF=2 góc HMN+góc MHN=180 độ

mà góc EHF=góc MHN(đối đỉnh)

nên 2 góc HMN=2 góc HEF

nên góc HMN=góc HEF

mà 2 góc này ở vị trí slt

nên EF//MN

a) Xét ΔABH và ΔACH có:

AB=AC (giải thiết)

AH chung

BH=CH (do giải thiết cho H là trung điểm của BC)

⇒ΔABH=ΔACH (c.c.c)

b) Theo chứng minh ở câu a ΔABH=ΔACH

⇒ˆBAH=ˆCAH (2 góc tương ứng)

Hay ˆEAH=ˆFAH

Xét Δ vuông AHE và Δ vuông AHF có:

ˆEAH=ˆFAH

AH chung

=> ΔAHE=Δ AHF (cạnh huyền-góc nhọn)

c) ΔAHE=ΔAHF⇒HE=HF  (2 cạnh tương ứng)

Xét Δ vuông HEM và Δ vuông HFN có:

HE=HF

ˆEHM=ˆFHN (đối đỉnh)

⇒ΔHEM=ΔHFN (cạnh góc vuông-góc nhọn)

⇒ME=NF (2 cạnh tương ứng)

Và MH=NH (2 cạnh tương ứng) và có HE=HF (chứng minh ở trên)

MF=MH+HF=NH+HE=NE (điều phải chứng minh)

d) Ta có ME=NF và AE=AF

NênAM=AE+ME=AF+NF=AN

AM=AN⇒ ΔAMN cân đỉnh A

nên ˆAMN=ˆANM 

Theo tính chất tổng 3 góc trong 1 tam giác ˆAMN+ˆANM+ˆA=180°

⇒2ˆAMN+ˆA=180o

⇒ˆAMN=180o−ˆA2  (1)

Tương tự ta có AE=AF⇒ΔAEF cân đỉnh A

⇒ˆAEF=ˆAFE=180o−A^2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra ˆAMN=ˆAEF mà chúng ở vị trí đồng vị nên

MN∥EF (đpcm).