Lời giải:

Áp dụng 4cos3x=3cosx+cos3x4cos3⁡x=3cos⁡x+cos⁡3x
⇒8cos3(x+π3)=6cos(x+π3)+2cos(3x+π)⇒8cos3⁡(x+π3)=6cos⁡(x+π3)+2cos⁡(3x+π)
Thay vào ta được
⇔6cos(x+π3)−2cos3x=cos3x⇔6cos⁡(x+π3)−2cos⁡3x=cos⁡3x
⇔6cos(x+π3)=3cos3x⇔6cos⁡(x+π3)=3cos⁡3x
⇔2cos(x+π3)=cos3x⇔2cos⁡(x+π3)=cos⁡3x
Đặt x+π3=t⇒3x+π=3t⇒3x=3t−πx+π3=t⇒3x+π=3t⇒3x=3t−π
Ta được 2cost=cos(3t−π)2cos⁡t=cos⁡(3t−π)
⇔2cost=−cos3t⇔2cos⁡t=−cos⁡3t
⇔2cost+cos3t=0⇔2cos⁡t+cos⁡3t=0
⇔4cos3t−cost=0⇔4cos3⁡t−cos⁡t=0

⇔⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣cost=0 (1)cost=12 (2)cost=−12 (3)⇔[cos⁡t=0 (1)cos⁡t=12 (2)cos⁡t=−12 (3)

(1) ⇔t=π2+kπ⇔t=π2+kπ (k∈Z)(k∈Z)

⇒x+π3=π2+kπ⇒x+π3=π2+kπ

⇔x=π6+kπ⇔x=π6+kπ (k∈Z)(k∈Z)

(2) ⇔t=±π3+k2π⇔t=±π3+k2π (k∈Z)(k∈Z)

⇒x+π3=±π3+k2π⇒x+π3=±π3+k2π

⇔x=k2π⇔x=k2π hoặc x=−2π3+k2πx=−2π3+k2π (k∈Z)(k∈Z)

(3) ⇔t=±2π3+k2π⇔t=±2π3+k2π (k∈Z)(k∈Z)

⇒x+π3=±2π3+k2π⇒x+π3=±2π3+k2π

⇔x=π3+k2π⇔x=π3+k2π hoặc x=−π+k2πx=−π+k2π (k∈Z)(k∈Z)

Vậy phương trình có nghiệm x=π6+kπx=π6+kπ

x=k2πx=k2π và x=−2π3+k2πx=−2π3+k2π

x=π3+k2πx=π3+k2π và x=−π+k2πx=−π+k2π (k∈Z)