Vẽ IR là phân giác của BIC => BIR = CIR = BIC2BIC2

Vì BI là phân giác của ABC nên ABI = CBI = ABC2ABC2

CI là phân giác của BCA nên BCI = ACI = ACB2ACB2

Δ ABC có: ABC + BAC + BCA = 180o

=> ABC + 60o + BCA = 180o

=> ABC + BCA = 180o - 60o = 120o

=> ABC2+BCA2=120o2=60oABC2+BCA2=120o2=60o

=> IBC + BCI = 60o

Xét Δ BIC có: BIC + IBC + BCI = 180o

=> BIC + 60o = 180o

=> BIC = 180o - 60o = 120o

=> BIC2=120o2BIC2=120o2

=> BIR = RIC = 60o

Ta có: BIC + BIF = 180o (kề bù) (*)

=> 120o + BIF = 180o

=> BIF = 180o - 120o = 60o

Xét Δ BIF và Δ BIR có:

FBI = RBI (gt)

BI là cạnh chung

BIF = BIR = 60o

Do đó, Δ BIF = Δ BIR (g.c.g)

=> Δ BIF = Δ BIR (g.c.g)

=> IE = IR (2 cạnh tương ứng) (1)

Ta có: BIC + CIE = 180o (kề bù)

Kết hợp với (*) => BIF = CIE = 60o

Xét Δ ICR và Δ ICE có:

RCI = ECI (gt)

IC là cạnh cung

RIC = EIC = 60o

Do đó, Δ ICR = Δ ICE (g.c.g)

=> IR = IE (2 cạnh tương ứng)

Từ (1) và (2) => IF = IE (đpcm)