a) xét tam giác AMH và tam giác AHB có
^AMH= ^AHB (=90 độ)
^MAH= ^HAB ( góc chung)
vậy tam giác AMH đồng dạng với tam giác AHB (g.g)
=> AM/AH=AH/AB hay AH^2= AM.AB
(1) xét tam giác ANH và tam giác AHC có
^ANH= ^AHC (= 90 độ)
^HAN= ^CAH (góc chung)
vậy tam giác ANH đồng dạng với tam giác AHC
=> AN/AH=AH/AC hay AH^2=AN.AC (2)
từ (1) và (2) suy ra AM.AB=AN.AC (đpcm)

b. tứ giác AMNH có
^AMH = ^ANH = ^A = 90 độ
nên là hình chữ nhật => AH= MN , ^MHN= 90độ
áp dụng định lí pytago vào tam giác vuông MHN ta có
MN^2= MH^2 + HN^2 hay AH^2 = MH^2 + HN^2 (1)
áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao vào tam giác vuông ABC ta có AH^2= HB.HC (2)
áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao vào tam giác vuông HBA ta có MH^2 = MA.MB (3)
áp dụng hệ thức về cạnh và góc vào tam giác vuông HCA ta có HN^2= AN. NC (4)
từ (1), (2), (3) và (4) ta có HB.HC = MA.MB + NA.NC (đpcm)