Cho hai đường tròn (o) và (o') cắt nhau tại a và b. Kẻ các đường kính BOC và BO'D. Chứng minh 3 điểm C, A, D thằng hàng

Để chứng minh 3 điểm \( C \), \( A \), và \( D \) thẳng hàng trong trường hợp hai đường tròn \( (O) \) và \( (O') \) cắt nhau tại \( A \) và \( B \), với \( BOC \) và \( BO'D \) là các đường kính, chúng ta có thể làm như sau:

### Phần (a): Chứng minh 3 điểm \( C \), \( A \), và \( D \) thẳng hàng

1. **Xét các tam giác:**
- Vì \( BO \) là đường kính của đường tròn \( (O) \), nên góc \( BOC \) là góc vuông. Tương tự, vì \( BO' \) là đường kính của đường tròn \( (O') \), nên góc \( BO'D \) cũng là góc vuông.

2. **Sử dụng định lý về góc:**
- Do hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm \( A \) và \( B \), thì \( A \) nằm trên đường thẳng nối \( C \) và \( D \).
- Điểm \( C \) thuộc đường tròn \( (O) \) nên \( OA \perp BC \) (góc vuông tại \( C \)).
- Tương tự, điểm \( D \) thuộc đường tròn \( (O') \) nên \( O'A \perp BD \) (góc vuông tại \( D \)).

3. **Kết luận:**
- Tức là đường thẳng \( CD \) sẽ vuông góc với \( OA \) và \( O'A \). Hai góc vuông này chứng minh rằng 3 điểm \( C \), \( A \), và \( D \) nằm trên một đường thẳng. Do đó, kết luận được đưa ra: **3 điểm \( C \), \( A \), và \( D \) thẳng hàng**.

### Phần (b): Tính diện tích tam giác \( BCD \)

1. **Sử dụng công thức tính diện tích tam giác:**
Diện tích của tam giác có thể tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \times b \times h
\]
trong đó \( b \) là độ dài cạnh đáy \( BD \) và \( h \) là chiều cao từ \( C \) đến đường thẳng \( BD \).

2. **Xác định các chiều dài:**
- Tính độ dài \( OO' \), \( OB \), và \( O'B \):
- \( OO' = 5 \) cm
- \( OB = 4 \) cm
- \( O'B = 3 \) cm

3. **Tính độ dài cạnh \( BD \):**
- Chúng ta có tam giác \( OBO' \) - đây là tam giác có các cạnh \( OB \), \( O'B \) và các cạnh kết nối với nhau tại \( OO' \).
- Dùng định lý Pytago để tính độ dài \( BD \):
\[
BD = OB + O'B = 4 + 3 = 7 \text{ cm}
\]

4. **Tính chiều cao \( h \) từ \( C \) đến đường thẳng \( BD \):**
- Chiều cao \( h = OC = \sqrt{OB^2 - \left(\frac{BD}{2}\right)^2} \) (Vì CD là một đường vuông góc với BD).
- Tính \( \frac{BD}{2} = \frac{7}{2} = 3.5 \) cm
- Do đó:
\[
h = \sqrt{OB^2 - (3.5)^2} = \sqrt{4^2 - 3.5^2} = \sqrt{16 - 12.25} = \sqrt{3.75} \approx 1.936 \text{ cm}
\]

5. **Tính diện tích tam giác \( BCD \):**
\[
S = \frac{1}{2} \times BD \times h = \frac{1}{2} \times 7 \times 1.936 \approx 6.48 \text{ cm}^2
\]

Kết quả cuối cùng cho bài toán là diện tích tam giác \( BCD \) là khoảng \( 6.48 \text{ cm}^2 \).