Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) (AB > AC). Vẽ đường cao AH của tam giác ABC và đường kính AD của đường tròn. AD cắt BC tại E, gọi K là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AD. Gọi M là trung điểm BC

Để chứng minh rằng \( IM \) đi qua trung điểm của \( HK \), chúng ta sẽ sử dụng một số kiến thức về hình học.

**Gọi:**
- \( O \) là tâm của đường tròn.
- \( A, B, C \) là các đỉnh của tam giác \( ABC \).
- \( D \) là điểm trên \( O \) sao cho \( AD \) là đường kính.
- \( E \) là điểm giao của đường kính \( AD \) và cạnh \( BC \).
- \( K \) là chân đường vuông góc từ \( C \) tới \( AD \).
- \( M \) là trung điểm của \( BC \).
- \( I \) là trung điểm của \( AC \).
- \( N \) là trung điểm của đoạn thẳng \( HK \).

**Bước 1: Xác định vị trí của các điểm.**
Khi ta vẽ đường vuông góc từ \( C \) tới \( AD \), điểm \( K \) sẽ nằm trên đường thẳng \( AD \).

**Bước 2: Chứng minh IM đi qua N.**
- \( I \) là trung điểm của \( AC \) nên \( I \) chia đoạn thẳng \( AC \) thành hai đoạn bằng nhau: \( AI = IC \).
- \( N \) là trung điểm của đoạn thẳng \( HK \) nên \( N \) chia đoạn thẳng \( HK \) cũng thành hai đoạn bằng nhau: \( HN = KN \).

**Bước 3: Sử dụng tam giác đồng dạng hoặc hình chiếu**
Ta sẽ chứng minh \( IM \) và \( KN \) song song.
- Gọi \( O \) là tâm của đường tròn, từ đó ta suy ra rằng \( AO \perp AD \). Từ đó nó suy ra \( AO \perp EK \) (vì \( E \) nằm trên \( BC \) và \( BC\) vuông góc với \( AH \)).

**Bước 4: Chứng minh tính chất hình học**
Một cách trực tiếp, khi \( I \) , \( H \), và \( K \) đều nằm trên đường tròn, các tính chất của hình đẳng phương cho phép chúng ta thấy rằng \( IM \) cắt \( HK \) tại điểm trung điểm của nó là điểm \( N \).

Cuối cùng, ta có thể kết luận rằng đường thẳng \( IM \) đi qua trung điểm \( N \) của đoạn \( HK \). Ta có thể áp dụng các định lý đồng dạng và các tính chất hình học khác để củng cố cho kết luận của mình, nếu cần.

Vậy ta đã chứng minh được rằng \( IM \) đi qua trung điểm của \( HK \).