a)Vì BH là phân giác của góc B(gt)=>Góc B1=góc B2

Vì tam giác ABC vuông tại A(gt)=>góc BAC=90 độ

Vì HM vuông góc với BC(gt)=>góc BMH=góc CMH=90 độ

=>góc BAC=góc BMH=90 độ

Xét tam giác ABH và tam giác MBH có:

góc BAH=góc BMH=90 độ(cmt)

BH là cạnh chung

Góc B1=góc B2(cmt)

=>tam giác ABH=tam giác MBH(ch-gn)

=>AH=MH(2 cạnh tương ứng)

Vậy tam giác ABH=tam giác MBH

b)Gọi giao điểm của AM và BH là I

Vì tam giác ABH=tam giác MBH(cmt)

=>AB=MB(2 cạnh tương ứng)

Xét tam giác ABI và tam giác MBI có

AB=MB(cmt)

Góc B1=góc B2(cmt)

BI là cạnh chung

=>tam giác ABI =tam giác MBI(c.g.c)

=>AI=MI(2 cạnh tương ứng) 

góc BIA=góc BIM(2 góc tương ứng)                                          (1)

góc BAI=góc BMI(__________________)

Ta có góc BIA+góc BIM=180 độ

Mà góc BIA=góc BIM(cmt)

=>2Góc BIA=2 góc BIM=180 độ

=>Góc BIA=góc BIM=90 độ                           (2)

Từ (1) và (2)=>BM là đường trung trực của đoạn thẳng AM

Hay BH là đường trung trực của đoạn thẳng AM

Vậy BH là đường trung trực của đoạn thẳng AM

c)Xét tam giác BAM có: góc BAI=góc BMI(cmt)=>Tam giác BAM cân tại B

Xét tam giác AHN và tam giác MHC có:

 góc NAH=góc CMH=90 độ(cmt)

     góc AHN=góc MHC(2 góc đối đỉnh)

        AH=MH(cmt)

=>tam giác  AHN = tam giác MHC(cgv-gnk)

=>AN=MC(2 cạnh tương ứng)

Ta có: AB=AM(cmt)

        +AN=MC(cmt)

    ___________________

=AB+AN=AM+MC

Hay BN=BC

Xét tam giác BNC có:BN=BC(cmt)

=>Tam giác BNC cân tại B

Ta có tam giác BNC cân tại B(cmt)

tam giác BAM cân tại B(cmt)

=> góc BAM=góc BMA=góc BNC=góc BCN

Mà góc BAM và góc BNC nằm ở vị trí đồng vị của hai đường thẳng AM và CN

=>AM//CN

Vậy AM//CN

d)Gọi giao điểm của NC và BH là K

Xét tam giác BNK và tam giác BCK có:

BN=BC(cmt)

Góc B1=góc B2(cmt)

BK là cạnh chung

=>tam giác BNK=tam giác BCK(c.g.c)

=>góc BKN=góc BKC(2 góc tương ứng)                         (1)

Ta có góc BKN+góc BKC=180 độ(2 góc kề bù)                             (2)

Từ(1) và (2)=>2góc BKN=2góc BKC=180 độ

=>góc BKN=góc BKC=90 độ

=>BK vuông góc với CN

hay BH vuông góc với CN

Vậy BH vuông góc với CN