Bài 9. Tìm số hạng đầu \(u_1\) và công bội của các cấp số nhân \((u_n)\), biết:
a) \(\left\{ \matrix{{u_6} = 192 \hfill \cr {u_7} = 384 \hfill \cr} \right.\)
b)\(\left\{ \matrix{{u_4} - {u_2} = 72 \hfill \cr {u_5} - {u_3} = 144 \hfill \cr} \right.\)
c) \(\left\{ \matrix{{u_2} + {u_5} - {u_4} = 10 \hfill \cr {u_3} + {u_6} - {u_5} = 20 \hfill \cr} \right.\)
Trả lời:
a)
\(\left\{ \matrix{
{u_6} = 192 \hfill \cr
{u_7} = 384 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_1}.{q^5} = 192(1) \hfill \cr
{u_1}.{q^6} = 384(2) \hfill \cr} \right.\)
 Lấy (2) chia (1) theo vế với vế ta được: \(q = 2\) thế vào (1):
(1) \(⇔ u_1.2^5= 192 ⇔ u_1= 6\)
Vậy \(u_1= 6\) và \(q = 2\).
b) Ta có:
\(\left\{ \matrix{
{u_4} - {u_2} = 72 \hfill \cr
{u_5} - {u_3} = 144 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_1}.{q^3} - {u_1}.q = 72 \hfill \cr
{u_1}.{q^4} - {u_1}.{q^2} = 144 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_1}.q({q^2} - 1) = 72(1) \hfill \cr
{u_1}.{q^2}({q^2} - 1) = 144(2) \hfill \cr} \right.\)
Lấy (2) chia (1) theo vế với vế ta được: \(q = 2\) thế vào (1)
(1) \(⇔2u_1(4 – 1) = 72 ⇔ u_1= 12\)
Vậy \(u_1= 12\) và \(q = 2\)
c) Ta có:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{u_2} + {u_5} - {u_4} = 10 \hfill \cr
{u_3} + {u_6} - {u_5} = 20 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_1}.q + {u_1}.{q^4} - {u_1}.{q^3} = 10 \hfill \cr
{u_1}.{q^2}+u_1.q^5-u_1.q^4 = 20 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_1}q(1 + {q^3} - {q^2}) = 10(1) \hfill \cr
{u_1}q^2(1 + {q^3} - {q^2}) = 20(2) \hfill \cr} \right. \cr} \)
Lấy (2) chia (1) theo vế với vế ta được: \(q = 2\) thế vào (1)
(1) \(⇔ 2u_1(1 + 8 – 4) = 10 ⇔ u_1= 1\)
Vậy \(u_1= 1\) và \(q = 2\).