Lấy P trên đường thẳng MN  sao cho N là trung điểm của MP.
Xét tam giác AMN và tam giác CPN có : AN = CN (N là trung điểm của AC  )
                                                           MN = NP (N là trung điểm của MP )
                                                          góc ANM = góc CNP (đối đỉnh    )
==> tgiac AMN = tgiac CPN (c.g.c)
==>AM = CP và góc MAN = góc NCP 
Mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên AM // CP hay AB // CP ==> góc MBP = góc BPC (SLT)
Xét tgiac MPB và tgiac CPB có: BM = CP , góc MBP = góc BPC, BP chung
==> tgiac MPB = tgiac CPB (c.g.c) ==> MP = BC mà MN = 1/2 MP ==> MN = 1/2 BC
ta có góc MPB = góc PBC (2 góc tương ứng ) mà 2 góc này ở vị trí so le trong ==> MN // BC