Bài 6: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm đa thức

Bài 40 (trang 43 sgk Giải Tích 12 12 nâng cao):

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y=x³+3x²-4

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn.

c) Chứng minh rằng điểm uốn làm tâm đối xứng của đồ thị.

Lời giải:

a) TXĐ: R

y'>0 trên khoảng (-∞; -2)và (0; +∞)

y'<0 trên khoảng (-2; 0)

y_CĐ=y(-2)=0; y_CT=y(0)=-4

y''=6x+6=6(x+1)=0 <=> x = -1

Bảng xét dấu y’’

Hàm số lồi trên khoảng (-∞; -1)

Hàm số lõm trên khoảng -1; +∞)

Hàm số có 1 điểm uốn u(-1; -2)

Bảng biến thiên:

Đồ thị

Đi qua điểm (1; 0) và (-3; -4)

b) Hàm số y=x³+3x²-4 có điểm uốn u(-1; -2)

Ta có: y'=3x²-4 ; y’(-1) = -3

Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn u(-1; -2) có dạng

y-y₀=y'(x₀)(x-x₀)

<=> y+2=-3(x+1)

<=> y=-3x-5

Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn là: y = -3x - 5.

c) Đồ thị nhận I(-1; -2) là tâm đối xứng khi và chỉ khi:

f(x₀+x)+f(x₀-x)=2y₀ với ∀x

<=> f(x-1)+f(-x-1)=-4 ∀x

<=> (x-1)³+3(x-1)²-4+(-1-x)³+3(-1-x)²-4 ∀x

<=> x³-3x²+3x-1+3x²-6x+3-5-3x-3x²-x³+3+6x+3x²-4=-4 ∀x

<=>-4=4 ∀x

=> I(-1; -2) là tâm đối xứng của đồ thị.