Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:x−21=y+12=z3 và hai điểm A(2;0;3), B(2;−2;−3). Biết M(a;b;c) điểm thuộc d thỏa mãn MA4+MB4 nhỏ nhất. Giá trị biểu thức 2a+3b+c bằng:

Đáp án B

Gọi I là trung điểm của AB. Khi đó ta có:

MA4+MB4=MA2+MB22−2MA2.MB2=2MI2+AB222−2MI2−AB222=4.MI4+2MI2AB2+AB44−2.MI4+MI2AB2−AB48=2.MI4+3MI2AB2+AB48=2MI2+3AB242−AB4

Do đó MA⁴+MB⁴ đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất ⇔ M là hình chiếu vuông góc của I lên d.

Điểm I(2;−1;0). Lấy M2+t;−1+2t;3t∈d. IM→=t;2t;3t.

IM→⊥ud→⇔IM→.ud→=0⇔t+4t+9t=0⇔t=0.

Suy ra M≡I2;−1;0. Vậy 2a+3b+c=1