a) Tứ giác BMNC là hình thang vì  M, N lần lượt là trung điểm của AB, CA 
=> đoạn thẳng MN là đường trung bình của tam giác ABC   
=> MN// BC suy ra Tứ giác BMNC là hình thang
b) có  MN//BC, mà K ∈ BC
=> góc MNK=NKC (2 góc so le) (1)
lại có đoạn thẳng NK là đường trung bình của tam giác ABC 
=> NK//AB
=>góc ABC=NKC (2 góc đồng vị) (2)
xét  Δ ABH vuông tại H có  BM=HM=AM (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng 1/2 cạnh huyền)
xét  Δ BHM cân tại M ( BM=HM) có góc MBH=BHM  hay ABC=MHB (3)
Từ 123 ta có góc MHB=NKC
lại có góc NKH= 180° - NKC
                 MHK=180° -NMH
=>NKH=MHK
xét  tứ giác MNKH có MN//HK (HK∈BC)=>MNKH là hình thang
có NKH=MHK 
=> tứ giác MNKH là hình thang cân (Hình thang có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau là hình thang cân)
c) xét tứ giác AMKN  có AN//MK,AM//NK   (AB//KN,AC//MK mà M∈AB,N∈AC)
=>AMKN là hình bình hành
có O là trung điểm của MN
=>O là trung điểm của AK =>K đối xứng với A qua O
d)có tứ giác AMKN là hình bình hành nên điều kiện để tứ giác AMKN là hình chữ nhật thì AN ⊥AM hay AB ⊥AC
vậy để tứ giác AMKN là hình chữ nhật thì  ΔABC vuông tại A 
(em tự vẽ ảnh sẽ hiểu cách anh giải hơn nh :))))