a)xét ΔOMB và ΔONA có:

          OM=ON (gt)

          OB=OA (gt)

          O là góc chung

Suy ra ΔOMB = ΔONA (c.g.c)

⇒ góc MAI= góc NBI (cặp góc tg ứng của 2 tam giác bằng nhau)

Xét ΔAIM có AIM+IMA+MAI=180 độ(tổng 3 góc trg 1Δ)

Xét ΔBIN có BIN+INB+NBI= 180 độ (tổng 3 góc trg 1Δ)

Mà MAI=NBI (cmt)

      AIM=BIN (2 góc đối đỉnh)

⇒ AMI=BNI

b)Ta có: OA-OM=AM

              OB-ON=BN

Mà OA=OB (gt)

      OM=ON (gt)

⇒ AM=BN

Xét ΔIAM và ΔIBN có:

            MAI=NBI (cmt)

            AM=BN (cmt)

            AMI=BNI (cmt)

Suy ra:ΔIAM=ΔIBN (g.c.g)

⇒ MI=NI ( cặp cạnh tg ứng của 2 tam giác bằng nhau)

c)xét ΔOMI và ΔONI có:

        MI=NI(cmt)

        OM=ON (gt)

        OI là cạnh chung

Suy raΔOMI=ΔONI

⇒MOI=NOI (cặp góc tg ứng của 2 tam giác bằng nhau)

 Vì MOI=NOI (cmt)

⇒OI là tia phân giác góc xOy

d) Vì K là trung điểm của đoạn thẳng AB

⇒ KA=KA =AB:2

xét ΔAKO và ΔBKO có:

    AK=BK (cmt)

    OK là cạnh chung

    OA=OB (gt)

Suy ra ΔAKO = ΔBKO (c.c.c)

⇒AOK=BOK (cặp góc tg ứng của 2 tam giác bằng nhau)

 Vì AOK=BOK (cmt)

⇒ OK là tia phân giác của xOy

Mà OI cx là tia phân giác của xOy

⇒ ba điểm O,I,K thẳng hàng