a) Ta có:

AD = -AB nên A là trung điểm của BD.

DE song song với BC nên theo định lí của góc đồng, ta có: góc ADE = góc ABC và góc AED = góc ACB.

Vậy tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số:

AD/AE = AB/AC => (-AB)/AE = AB/AC => AE = -AC.

Tỉ số đồng dạng của hai tam giác là AB/AE = AB/(-AC) = -AB/AC.

b) Gọi F là trung điểm của AC. Ta có:

AD = -AB => BD = 2AD = -2AB.

EF song song với AB nên EF cũng song song với CD.

Do đó, ta có hai đường chéo AC và BD của tứ giác ABDC là đường chéo bù của nhau. Vậy tứ giác ABDC là tứ giác điều hòa, suy ra AB/BD = AC/CD => AB/(-2AB) = AC/CD => CD = -2AC.

Ta có chu vi tam giác ABC là AB + BC + AC = AB + BC + AB = 2AB + BC. Vì DE song song với BC nên chu vi tam giác ADE là:

ADE = AD + DE + EA = -AB + DE - AC = -AB + DE + AE - AC = -AB + DE - AC = BD + DE - CD = -2AB + DE + 2AC.

Nhưng ta cũng có BD = -2AB và CD = -2AC, vậy chu vi tam giác ADE là:

ADE = -2AB + DE + 2AC = DE - 2AB = (AE - AD) - 2AB = -3AB = -3/2 (AB + AC + BC) (vì AB + AC + BC = 2AB + BC).

Vì chu vi tam giác ABC là 60cm nên AB + AC + BC = 30cm. Do đó, chu vi tam giác ADE là:

ADE = -3/2 (AB + AC + BC) = -3/2 * 30 = -45cm.

Tuy nhiên, chu vi là một giá trị dương nên ta cần đổi dấu: chu vi tam giác ADE là 45cm.

c) Ta có:

E là trung điểm của AC nên BE song song với DE.

Theo tỉ số đồng dạng của tam giác ADE và ABC, ta có: AB/AC = AD/AE => AB/AC = -1 => AB = -AC.

Gọi H là giao điểm của BD và CE. Ta có DH song song với BE nên theo định lí của góc đồng, ta có: góc EHD = góc BAC.

Vì góc BAC bằng góc EAD (do tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC) nên góc EHD bằng góc EAD.

Từ đó, ta suy ra tam giác AED đồng dạ ng với tam giác HED theo tỉ số đồng dạng.

Vì BE song song với DE nên góc EHB = góc EDC.

Góc EDC bằng góc ACB (do hai cạnh AB và CD đối song song với nhau) nên góc EHB bằng góc ACB.

Từ đó, ta suy ra tam giác HEB đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số đồng dạng AB/AC = -1.

Vậy ta có: HE/AC = EB/AB = DE/AD = DE/(-AB).

Nhân hai vế của phương trình trên với (-AB) ta được: HE/(-AB) = DE/AC.

Ta có: HO/OC = BH/CE = BD/DE = -2 (vì BD = -2AB và DE = -AC).

Nhân hai vế của phương trình trên với AC ta được: HO/(-2AB) = -AC/DE.

So sánh hai phương trình trên, ta có: HE/(-AB) = HO/(-2AB) => HE = HO/2.

Ta có AO song song với ED (do tam giác AED đồng dạng với tam giác HED) nên góc AOM = góc EOD.

Vì AE = -AC nên A là trung điểm của EC.

Do đó, ta có AM song song với CD (do AB song song với CD và AE song song với BC) nên góc AOM = góc EDC.

Từ đó, ta suy ra góc EOD bằng góc EDC và góc AOM bằng góc ACB.

Suy ra tam giác EOD đồng dạng với tam giác ACB theo tỉ số đồng dạng OE/AC = OD/AB = DE/(-AB).

Ta có: OE/AC = HE/AC - HO/2 = DE/(-AB) - HO/2AB = (-2HO - DE)/2AB.

Tương tự, ta có: OD/AB = (-2HO + DE)/2AB.

Do đó, tỉ số đồng dạng giữa tam giác EOD và tam giác ABC là (-2HO - DE)/2AB = (-2HO + DE)/2AB => DE = 2HO.

Suy ra M là trung điểm của DE vì AM song song với CD và M là trung điểm của AE.