a) Vì tam giác ABC cân tại A nên ta có góc ACB = 70° và góc BAC = 55°.

Gọi góc BHD = x, góc CHE = y, góc BDC = z. Ta có:

- Góc HDC = 180° - góc BDC = 180° - z
- Góc HDB = 180° - góc BHD = 180° - x
- Góc EHB = góc BHE = góc BAC/2 = 55°/2 = 27.5°
- Góc DHC = góc AHB = góc BAC/2 = 27.5°

Ta có tổng các góc ở một điểm là 180°, suy ra:

x + z + (180° - z) + (180° - x) + y + 55° = 180°

Simplifying:

2x + 2y = 50°

x + y = 25°

Tổng các góc trong tam giác ABC là 180°, suy ra:

z + 70° + y + x + 55° = 180°

Simplifying:

x + y + z = 55°

Thay x + y = 25° vào ta có:

z = 30°

Vậy các góc còn lại của tam giác ABC lần lượt là 55°, 25°, 100°.

b) Ta cần chứng minh BD = CE.

Gọi I là giao điểm của BD và CE. Ta cần chứng minh I nằm trên đường cao AH của tam giác ABC.

Áp dụng định lí Ceva cho tam giác ABC và điểm I, ta có:

BD/DC x CE/EA x AH/HB = 1

Vì tam giác ABC cân tại A nên EA = AC. Suy ra:

BD/DC x CE/AC x AH/HB = 1

Ta có:

AH/HB = [AHD]/[BHD] (với [XYZ] là diện tích tam giác XYZ)

CE/AC = [CEH]/[AEH]

BD/DC = [BHD]/[DHC]

Do tam giác ABC cân tại A, ta có:

[AEH] = [AHD] và [DHC] = [CEH]

Suy ra:

AH/HB = CE/AC

Vậy I nằm trên đường cao AH của tam giác ABC. Do đó, ta có BD = CE.

c) Ta cần chứng minh tia AH là tia phân giác của góc BAC.

Vì tam giác ABC cân tại A nên ta có đường cao AH cắt BC tại trung điểm M của BC. Suy ra AM là đường trung trực của BC.

Gọi góc BAH = góc CAH = x. Ta cần chứng minh góc BAM = góc CAM.

Áp dụng định lí trung tuyến trong tam giác ABC, ta có BM = MC.

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABM và ACM, ta có:

BM^2 = AB^2 + AM^2 - 2 x AB x AM x cos(x)

MC^2 = AC^2 + AM^2 - 2 x AC x AM x cos(x)

Vì BM = MC, suy ra:

AB^2 + AM^2 - 2 x AB x AM x cos(x) = AC^2 + AM^2 - 2 x AC x AM x cos(x)

Simplifying:

AB^2 - AC^2 = 2 x AM x cos(x) x (AB - AC)

Vì AB = AC (do tam giác ABC cân tại A), suy ra:

cos(x) = 1

Vậy x = 0 hoặc x = 360°. Vì x không thể bằng 360° (vì góc BAC < 180°), suy ra x = 0.

Vậy tia AH là tia phân giác của góc BAC.