Để giải phương trình này, ta cần thực hiện các bước sau:

1. Nhân các đơn thức trong dấu ngoặc: (6x + 8) (6x + 6) (6x + 7)² = 72 ⇔ (36x³ + 72x² + 42x + 48) (6x + 7)² = 72

2. Đặt y = 6x + 7, ta có: (36x³ + 72x² + 42x + 48) (6x + 7)² = 72 ⇔ [(y - 1)³ + 2(y - 1)² + y - 1] y² = 2

3. Nhân đôi cả 2 vế của phương trình để loại bỏ mẫu số: [(y - 1)³ + 2(y - 1)² + y - 1] y² = 2 ⇔ 2[(y - 1)³ + 2(y - 1)² + y - 1] y² = 4

4. Đặt z = y - 1, ta có: 2[(y - 1)³ + 2(y - 1)² + y - 1] y² = 4 ⇔ 2(z³ + 2z² + z) (z + 1)² = 4

5. Chia cả 2 vế cho 2 và đưa hằng số sang phía trái: (z³ + 2z² + z) (z + 1)² - 2 = 0

6. Giải phương trình bậc 3 trên bằng cách sử dụng phương pháp khai căn bậc ba: Đặt t = √z + 1, ta có: z = t² - 1 và z + 1 = t²

   Thay z vào phương trình ban đầu, ta có: [(t² - 1)³ + 2(t² - 1)² + (t² - 1)] t⁴ = 2

   Mở ngoặc và đặt u = t², ta có: u⁶ + u⁵ - 5u⁴ - 5u³ + 4u² + 2u - 2 = 0

   Nhận thấy u = 1 là nghiệm của phương trình này, ta chia phương trình cho (u - 1) và giải phương trình bậc 5 thu được 4 nghiệm phức.

7. Từ đó suy ra giá trị của t, z và y, và sau đó tính được x: z = t² - 1 = (y - 1) - 1 = y - 2 y = t + 1 = √z + 2 x = (y - 7) / 6

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -1/3.