Ta có:

• Tam giác MNP vuông tại N, suy ra MN là đường cao của tam giác.
• Đường tròn tâm P tiếp xúc với MN tại N, suy ra PN là phân giác góc MPN và PM là phân giác góc NPM.
• Từ đó suy ra tam giác MPQ cân tại P và MQ là đường trung trực của NP.

Vì MQ là đường trung trực của NP nên MQ cũng là đường trung trực của đoạn NP. Do đó, MQ đi qua trung điểm của NP, kí hiệu là I.

Gọi O là tâm đường tròn P. Ta có ON vuông góc với MP (vì ON là tiếp tuyến của đường tròn tại N). Khi đó, tam giác MON cũng là tam giác vuông tại N. Suy ra OM là đường cao của tam giác MON.

Do đó, ta có:

• Tam giác MPQ cân tại P và MQ là đường trung trực của NP.
• Tam giác MON vuông tại N và OM là đường cao của tam giác.

Kết hợp hai tính chất trên, ta suy ra tam giác MNQ đều, vì MQ là đường trung trực của NP và OM là đường cao của tam giác.

Vậy MQ là tiếp tuyến của đường tròn tâm P và tam giác MNQ đều.