Để chứng minh các phần a, b và c trong bài toán này, ta sẽ sử dụng các khái niệm và quy tắc cơ bản về hình học tam giác và đường thẳng.

a. Để chứng minh tam giác BPCP là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng các cạnh và đường chéo của nó đồng dài và song song với nhau.

Ta có:
1. Đường thẳng PC song song với đường thẳng BN (theo giả thiết), do đó góc BPC và góc BNC là các góc đồng quy.
2. Tam giác ABC là tam giác có trung tuyến AM, vì vậy AM = 1/2 BC.
3. Do f là điểm cắt của đường thẳng BC và đường thẳng qua f song song với BN, ta có BF = FC.

Từ (2) và (3), ta có:
BM = MC = 1/2 BC

Vậy, ta có:
BC = 2BM = 2MC

Kết hợp với góc BPC = góc BNC, ta có:
Tam giác BPC và tam giác BNC là hai tam giác có cạnh đồng dài và góc đồng quy, do đó chúng là hai tam giác đồng dạng.

Vì vậy, theo quy tắc đồng dạng tam giác, ta có:
BP/BN = BC/BC = 1

Nhưng BF = FC, vậy ta có:
BP/BN = BF/FC = 1

Do đó, tam giác BPC và tam giác BPN là hai tam giác có các cạnh và đường chéo tỷ lệ bằng nhau, do đó chúng là hai tam giác đồng dạng.

Vậy, tam giác BPCP là hình bình hành.

b. Để chứng minh tam giác PNCP là hình thang, ta cần chứng minh rằng hai cạnh bên PN và PC của nó là song song và có độ dài bằng nhau.

Ta đã chứng minh trong phần a rằng tam giác BPC và tam giác BPN là hai tam giác đồng dạng. Do đó, tỷ lệ giữa cạnh BP và cạnh BN là bằng nhau.

Nhưng BF = FC, vậy ta có:
BP/BN = BF/FC = 1

Do đó, ta có:
BP = BN

Nhưng tam giác BPCP là hình bình hành, vậy ta cũng có:
PC = BP

Từ hai công thức trên, ta có:
PC = BP = BN

Vậy, hai cạnh bên PN và PC của tam giác PNCP có độ dài bằng nhau và là hai đường thẳng song song.

Do đó, tam giác PNCP là