a) Để chứng minh tứ giác BMIK nội tiếp, ta cần chứng minh góc BMK bằng góc BIK.

Ta có:
Góc BMK = Góc BMC (vì BM và BK là các tia cắt cùng BC)
Góc BIK = Góc BIC (vì BI và BK là các tia cắt cùng BC)

Vì tam giác BIC vuông tại I (do IB = IC, và IB ⊥ BC), nên góc BIC = 90 độ.

Vì AB ⊥ CD (theo đề bài), nên góc BMC = 90 độ.

Do đó, góc BMK = góc BIK = 90 độ, tứ giác BMIK nội tiếp.

Để xác định tâm của đường tròn nội tiếp tứ giác BMIK, ta lấy đường phân giác của góc BMK (đi qua tâm đường tròn) cắt BM và BK tại hai điểm P và Q. Gọi O là tâm của đường tròn nội tiếp tứ giác BMIK.

b) Để chứng minh KI là tia phân giác của góc CKM, ta cần chứng minh góc IKM = góc IKC.

Vì tứ giác BMIK nội tiếp, nên góc BIK = góc MKI.
Vì tam giác BIC vuông tại I, nên góc IKC = 90 - góc BIC.

Do đó, góc IKM = góc BIK = góc MKI = góc IKC, KI là tia phân giác của góc CKM.

c) Để chứng minh AM · EI = AE · MI, ta sử dụng định lí Menelaus trong tam giác ABC.

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC với đường chéo MI, ta có:
AM · EI · BC = AE · MI · BC

Vì BI ⊥ BC (do IB ⊥ BC), nên MI · BC = MB · IC (do tứ giác BMIC nội tiếp).
Vì BI = IC, nên MI · BC = MB · BI.

Do đó, AM · EI = AE · MI (vì MI · BC = MB · BI).

d) Để tìm vị trí điểm M trên cung nhỏ BC sao cho diện tích AMFK lớn nhất, ta có thể sử dụng tính chất của tam giác vuông và tam giác đồng dạng. Chi tiết cách tìm vị trí M cụ thể sẽ phụ thuộc vào các thông số cụ thể của đường tròn và các đường kính AB, CD.