Với x, y > 0, ta có thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz theo cách sau:

Cho a, b > 0, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho chúng ta biết (a^2 + b^2)/(a + b) ≥ √(ab). Khi đó, biểu thức trên trở thành:

√[(x^2 + 1/x^2)/2] + √[(y^2 + 4/y^2)/2] - (x + 3y)

Sau đó, chúng ta lại sử dụng bất đẳng thức AM-GM (bất đẳng thức giữa trung bình số học và trung bình số hình học) với a, b > 0: √(ab) ≤ (a + b)/2, để biến đổi biểu thức trên thành:

(x + 1/x)/2 + (y + 4/y)/2 - (x + 3y)

=> x/2 - x + 1/2x + y/2 - 3y + 2/y

=> -x/2 + 1/2x - y*5/2 + 2/y

Để tìm giá trị nhỏ nhất, chúng ta cần tìm điểm cực trị cho x và y. Nhưng dựa vào bất đẳng thức AM-GM, ta biết rằng giá trị nhỏ nhất sẽ đạt được khi x = 1 và y = 2/5, tức là giá trị nhỏ nhất sẽ là:

=> -1/2 + 1/2 - 5/2*2/5 + 2/(2/5) = -1 + 2 = 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 1.