1. Ta có:
G là trọng tâm tam giác ACC’ nên AG = 2GI, CG = 2GI’
K là trọng tâm tam giác A’B’C’ nên AK = 2II’, CK = 2I’G
I là trọng tâm tam giác ABC nên AI = 2IB, CI = 2IC
Từ đó suy ra: AG + GK = 2GI + 2II’ + 2I’G = 2(IGK)
Tương tự, ta có: BB’ + CC’ = 2MN, B’M + C’N = 2IP
Vì BM = MC, B’M = MBB’ = \frac{1}{2}BB’, NCC’ = C’N = \frac{1}{2}CC’, ta có: B’C’ || MN và B’C’ = 1/2.MN
Áp dụng định lí Thales, ta có: (IGK) || (BB’CC’) và IGK = \frac{1}{2}(BB’CC’)
Từ AK = 2II’ và AI = 2IB, ta có: A’K = 2IB’
Vì A’I’ || BI, A’K || B’I’ nên tam giác A’KG và tam giác AIB’ đồng dạng
Từ đó suy ra: (A’KG) || (AIB’)
2. Ta có:
Vì M, N lần lượt là trung điểm của BB’, CC’ nên MN || B’C’ và MN = 1/2.B’C’
Từ đó suy ra: MP/PB’= NQ/QC = 1/2
Vì I là trọng tâm tam giác ABC nên IP = 1/3.IB’, IQ = 1/3.IA’
Từ đó suy ra: IP/IA’ = 1/4, IQ/IB’ =1/4
Áp dụng định lí Thales, ta có: MP/PB’ = IQ/IB’
Từ đó suy ra: IQ = 4IP