Ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

$(1^2+1^2+1^2+...+1^2)(1/1^2+1/2^2+1/3^2+...+1/45^2) \geq (1+1/\sqrt{2}+1/\sqrt{3}+...+1/\sqrt{2025})^2$

Từ đó suy ra:

$1/1^2+1/2^2+1/3^2+...+1/45^2 \geq \frac{(1+1/\sqrt{2}+1/\sqrt{3}+...+1/\sqrt{2025})^2}{1^2+1^2+1^2+...+1^2}$

$= \frac{(1+1/\sqrt{2}+1/\sqrt{3}+...+1/\sqrt{2025})^2}{45}$

Vì vậy, ta cần chứng minh:

$\frac{(1+1/\sqrt{2}+1/\sqrt{3}+...+1/\sqrt{2025})^2}{45} > 45$

Tương đương với:

$(1+1/\sqrt{2}+1/\sqrt{3}+...+1/\sqrt{2025})^2 > 2025 \times 45$

Ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM:

$1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2025}} \geq 45\sqrt[45]{\frac{1}{\sqrt{2^{22}}\sqrt{3^{33}}...\sqrt{2025^{2025}}}}$

$= 45\sqrt[45]{\frac{1}{2^{22}3^{33}...2025^{2025}}}$

Vì vậy, ta cần chứng minh:

$45\sqrt[45]{\frac{1}{2^{22}3^{33}...2025^{2025}}} > 45$

Tương đương với:

$\sqrt[45]{\frac{1}{2^{22}3^{33}...2025^{2025}}} > 1$

Điều này là đúng vì tích các số trong mẫu số là một số rất nhỏ, nên nó sẽ nhỏ hơn 1. Vì vậy, ta đã chứng minh được bất đẳng thức ban đầu:

$1+1/\sqrt{2}+1/\sqrt{3}+...+1/\sqrt{2025} > 45$