Giả sử số có ba chữ số là ABC, trong đó A là chữ số hàng trăm, B là chữ số hàng chục và C là chữ số hàng đơn vị.

Theo đề bài, ta có:
A + B + C chia hết cho 7 (1)

Vì chữ số hàng đơn vị và chữ số hàng chục giống nhau, ta có:
B = C

Thay B = C vào (1), ta có:
A + B + B chia hết cho 7
A + 2B chia hết cho 7 (2)

Để chứng minh rằng số ABC chia hết cho 7, ta cần chứng minh rằng A + 2B chia hết cho 7.

Giả sử A + 2B không chia hết cho 7, tức là A + 2B = 7k + r, với k là số nguyên không âm và r là số dư (0 ≤ r < 7).

Ta có thể thay thế A + 2B = 7k + r vào (2) để được:
7k + r chia hết cho 7

Tuy nhiên, vì r < 7, nên r không thể chia hết cho 7. Điều này dẫn đến mâu thuẫn, vì giả sử ban đầu là A + 2B không chia hết cho 7.

Vậy giả sử ban đầu là sai, tức là A + 2B chia hết cho 7.

Do đó, nếu một số có ba chữ số mà tổng ba chữ số của nó chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị và chữ số hàng chục giống nhau, thì số đó chia hết cho 7.