Để giải bài toán tìm số tự nhiên \( n \) lớn nhất có 3 chữ số, với các điều kiện:

1. \( n \equiv 7 \mod 8 \)
2. \( n \equiv 28 \mod 31 \)

**Bước 1: Tìm số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số**

Số lớn nhất có 3 chữ số là 999.

**Bước 2: Thay n vào điều kiện đầu tiên**

Ta cần tìm \( n \) như sau:

- Với điều kiện chia cho 8 dư 7:
\( n = 8k + 7 \) với \( k \) là số nguyên.

**Bước 3: Thay vào điều kiện thứ hai**

Từ điều kiện thứ hai:

\( 8k + 7 \equiv 28 \mod 31 \)

Suy ra:

\[
8k \equiv 21 \mod 31
\]

**Bước 4: Giải phương trình đồng dư**

Để giải \( 8k \equiv 21 \mod 31 \), ta cần tìm \( k \).

- Tính nghịch đảo của 8 mod 31:

Tìm \( x \) thỏa mãn \( 8x \equiv 1 \mod 31 \). Sử dụng thuật toán Euclid mở rộng:

\[
31 = 3 \cdot 8 + 7 \\
8 = 1 \cdot 7 + 1 \\
7 = 7 \cdot 1 + 0
\]

Suy ra:
\[
1 = 8 - 1 \cdot (31 - 3 \cdot 8) = 4 \cdot 8 - 1 \cdot 31
\]

Vậy \( 8^{-1} \equiv 4 \mod 31 \).

Ta có:

\[
k \equiv 21 \cdot 4 \mod 31 \Rightarrow k \equiv 84 \mod 31
\]

Chia 84 cho 31:

\[
84 \div 31 = 2 \Rightarrow 84 - 2 \cdot 31 = 22
\]

Vậy \( k \equiv 22 \mod 31 \).

**Bước 5: Tìm giá trị \( k \)**

Từ đó, ta viết:

\[
k = 31m + 22 \quad (m \text{ là số nguyên})
\]

Thay vào \( n \):

\[
n = 8k + 7 = 8(31m + 22) + 7 = 248m + 176 + 7 = 248m + 183
\]

**Bước 6: Giới hạn \( n \)**

Để \( n \) có 3 chữ số:

\[
248m + 183 \leq 999
\]
\[
248m \leq 816 \Rightarrow m \leq \frac{816}{248} \approx 3.29
\]

Vậy \( m \) có thể là 0, 1, 2, 3.

**Bước 7: Tính các giá trị của \( n \)**

- Nếu \( m = 3 \):
\[
n = 248 \cdot 3 + 183 = 744 + 183 = 927
\]

- Nếu \( m = 2 \):
\[
n = 248 \cdot 2 + 183 = 496 + 183 = 679
\]

- Nếu \( m = 1 \):
\[
n = 248 \cdot 1 + 183 = 248 + 183 = 431
\]

- Nếu \( m = 0 \):
\[
n = 183
\]

**Bước 8: Kết luận**

Số lớn nhất \( n \) thỏa mãn hai điều kiện là **927**.