Để 2n + 3 và 4n + 1 là hai số nguyên cùng nhau, ta cần tìm các số tự nhiên n sao cho ước chung lớn nhất của 2n + 3 và 4n + 1 là 1.

Áp dụng định lý Euclid, ta có:
gcd(2n + 3, 4n + 1) = gcd(2n + 3, 4n + 1 - 2(2n + 3))
= gcd(2n + 3, 4n + 1 - 4n - 6)
= gcd(2n + 3, -5)

Để gcd(2n + 3, -5) = 1, ta cần 2n + 3 không chia hết cho -5. Vì -5 là số nguyên tố, nên 2n + 3 không chia hết cho -5 có nghĩa là 2n + 3 không chia hết cho 5.

Ta có hai trường hợp xảy ra:
1. 2n + 3 không chia hết cho 5 và 2n + 3 không chia hết cho -5.
2. 2n + 3 không chia hết cho 5 và 2n + 3 chia hết cho -5.

Trường hợp 1: 2n + 3 không chia hết cho 5 và 2n + 3 không chia hết cho -5.
Điều này có nghĩa là 2n + 3 không chia hết cho 5 và 2n + 3 không chia hết cho -5. Vì 5 và -5 là hai số nguyên tố cùng nhau, nên 2n + 3 không chia hết cho 5 và -5 có nghĩa là 2n + 3 không chia hết cho 5 * -5 = -25.

Trường hợp 2: 2n + 3 không chia hết cho 5 và 2n + 3 chia hết cho -5.
Điều này có nghĩa là 2n + 3 không chia hết cho 5 và 2n + 3 chia hết cho -5. Vì 5 và -5 là hai số nguyên tố cùng nhau, nên 2n + 3 không chia hết cho 5 và -5 có nghĩa là 2n + 3 không chia hết cho 5 * -5 = -25.

Tóm lại, để 2n + 3 và 4n + 1 là hai số nguyên cùng nhau, ta cần tìm các số tự nhiên n sao cho 2n + 3 không chia hết cho -25.