a) Ta có BC = 2AB và góc A = 60 độ. Vì E là trung điểm của BC, nên BE = EC = AB.
Góc ABE = góc BCE = góc ABC = 60 độ.
Vậy tam giác ABE và tam giác CBE là hai tam giác đồng dạng (cạnh huyền và một góc bằng nhau).
Do đó, góc AEB = góc CEB = 90 độ.
Vậy AE vuông góc với BF.

b) Tứ giác ECDF là hình vuông.
Vì E là trung điểm của BC và F là trung điểm của AD, nên EF song song với AB và EF = AB.
Vì AE vuông góc với BF (chứng minh ở câu a), nên EF vuông góc với BF.
Vậy tứ giác ECDF là hình vuông.

c) Tứ giác ABED là hình bình hành.
Vì ABED là hình bình hành, nên AB song song với DE và AB = DE.
Vì AE vuông góc với BF (chứng minh ở câu a), nên AE song song với BF và AE = BF.
Vậy tứ giác ABED là hình bình hành.

d) Gọi M' là điểm đối xứng của A qua B. Ta cần chứng minh BM' = CM' = DM' = CM = CD.
Vì BM' = AM' = AM = AB (vì A, B, M' thẳng hàng), nên BM' = AB.
Vì BM' = AB = CD (vì ABED là hình bình hành), nên BM' = CD.
Tương tự, ta có CM' = CD và DM' = CD.
Vậy tứ giác BMCD là hình chữ nhật.

e) Ta cần chứng minh M, E, D thẳng hàng.
Vì BM' = CD và BM' vuông góc với CD (chứng minh ở câu d), nên BM'CD là hình chữ nhật.
Vì E là trung điểm của BC và F là trung điểm của AD, nên EF song song với AB và EF = AB.
Vì BM'CD là hình chữ nhật, nên BM' song song với CD và BM' = CD.
Vậy EF song song với BM' và EF = BM'.
Vậy M, E, D thẳng hàng.