Gọi a, b, c lần lượt là độ dài ba cạnh của tam giác.

Theo định nghĩa, đường cao từ đỉnh A của tam giác ABC là đoạn thẳng vuông góc với đường thẳng AB và đi qua A. Tương tự, đường cao từ đỉnh B là đoạn thẳng vuông góc với đường thẳng BC và đi qua B, đường cao từ đỉnh C là đoạn thẳng vuông góc với đường thẳng AC và đi qua C.

Để tìm tỉ lệ ba cạnh của tam giác, ta cần tìm độ dài của hai đường cao.

Gọi h₁, h₂, h₃ lần lượt là độ dài ba đường cao của tam giác.

Theo giả thiết, nếu cộng lần lượt độ dài hai đường cao của tam giác, ta có tỉ lệ các kết quả 5 : 7 : 8.

Từ đó, ta có h₁ + h₂ : h₂ + h₃ : h₃ + h₁ = 5 : 7 : 8.

Ta biết rằng đường cao từ đỉnh A vuông góc với đường thẳng BC và đi qua A, nên h₁ là đường cao từ đỉnh A. Tương tự, h₂ là đường cao từ đỉnh B và h₃ là đường cao từ đỉnh C.

Vì vậy, ta có:

h₁ + h₂ = a
h₂ + h₃ = b
h₃ + h₁ = c

Từ đó, ta có:

(a + b) : (b + c) : (c + a) = 5 : 7 : 8

Tuy nhiên, không thể tìm ra tỉ lệ cụ thể của a, b, c chỉ từ thông tin trên. Để tìm tỉ lệ ba cạnh của tam giác, cần thêm thông tin về tam giác hoặc các độ dài của các đường cao khác.