Để chứng minh các điều kiện đã cho, ta sẽ sử dụng các định lí trong hình học tam giác.

1. Chứng minh góc ABH = góc CAH:
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc ABH = 90° - góc BAC.
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc CAH = 90° - góc ABC.
Vậy, để chứng minh góc ABH = góc CAH, ta cần chứng minh góc BAC = góc ABC.

2. Chứng minh AD là phân giác của góc HAC:
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc HAB + góc BAC = 90°.
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc HAC + góc ABC = 90°.
Vậy, để chứng minh AD là phân giác của góc HAC, ta cần chứng minh góc HAB = góc ABC.

3. Chứng minh AH = AK:
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc ABH = 90° - góc BAC.
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc CAH = 90° - góc ABC.
Vậy, để chứng minh AH = AK, ta cần chứng minh góc ABH = góc CAH.

4. Chứng minh MD song song với AC:
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAC + góc ABC = 90°.
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAC + góc ACB = 90°.
Vậy, để chứng minh MD song song với AC, ta cần chứng minh góc ABC = góc ACB.

5. Tìm điều kiện của tam giác ABC để AH là phân giác của góc BAD:
Điều kiện để AH là phân giác của góc BAD là góc ABH = góc HAB.
Từ điều kiện này, ta có góc BAC = góc ABC.

Vậy, để chứng minh các điều kiện đã cho, ta cần chứng minh góc BAC = góc ABC và góc ABC = góc ACB.