Để chứng minh rằng hai tam giác \( \triangle ABI \) và \( \triangle ACI \) là cân, ta làm theo các bước sau:

1. **Cho tam giác vuông cân \( \triangle ABC \)**: Theo giả thiết, \( \triangle ABC \) là tam giác cân tại \( A \). Điều này có nghĩa là \( AB = AC \).

2. **Đường thẳng qua A**: Ta đã kẻ đường thẳng \( AI \) song song với \( BC \). Khi hai đường thẳng song song bị cắt bởi một đường thẳng, các góc tương ứng sẽ bằng nhau.

3. **Góc tại I**: Gọi góc \( \angle ABI \) và \( \angle ACI \) là các góc tại \( I \). Vì \( AI \parallel BC \), theo tính chất của các góc so le trong, ta có:
\[
\angle ABI = \angle ACI
\]

4. **Góc tại A**: Ta có \( \angle AIB = \angle AIC \), do hai góc này là bánh xe bù nhau (cùng nằm một vị trí).

5. **Cạnh A**: Từ đoạn 1 ta đã biết \( AB = AC \) theo giả thiết tam giác cân.

Vậy từ các góc và cạnh đã chứng minh ở trên, ta có:
- \( AB = AC \)
- \( \angle ABI = \angle ACI \)
- \( \angle AIB = \angle AIC \)

Như vậy, \( \triangle ABI \) và \( \triangle ACI \) đều có hai cạnh tương ứng và góc tương ứng bằng nhau, từ đó suy ra:
\[
\triangle ABI \cong \triangle ACI
\]
Vậy kết luận rằng \( \triangle ABI \) và \( \triangle ACI \) là cân.

Điều này dẫn đến việc ta có thể suy ra \( AB = AI \) và \( AC = AI \) cho tính chất góc.