Điều kiện để phương trình có nghiệm:
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪2x≠π2+kπ;k∈Z3x≠π2+mπ;m∈Z5x≠π2+nπ;n∈Z⇔⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪x≠π4+kπ2;k∈Zx≠π6+mπ3;m∈Zx≠π10+nπ5;n∈Z
Chuyển vế của phương trình ta được phương trình mới như sau:
tan2x−tan2xtan3xtan5x=tan3x+tan5x
Đặt nhân tử chung tan2x bên vế trái:
tan2x.(1−tan3xtan5x)=tan3x+tan5x
Ta có:
1−tan3xtan5x=1−sin3xcos3x.sin5xcos5x=cos3x.cos5x−sin3x.sin5xcos3x.cos5x=cos(3x+5x)cos3x.cos5x=cos8xcos3x.cos5x
và:
tan3x+tan5x=sin3xcos3x+sin5xcos5x=sin3x.cos5x+cos3x.sin5xcos3x.cos5x=sin(3x+5x)cos3x.cos5x=sin8xcos3x.cos5x
Ta nhận thấy khi:
x=π16+kπ8;k∈Z⇒cos8x=0⇒sin8x=1
Do đó, phương trình không thể nào nhận
x=π16+kπ8;k∈Z
làm nghiệm do đó, nghiệm của phương trình luôn thỏa mãn:
1−tan3xtan5x≠0
Do đó, chia hai vế của phương trình cho:
1−tan3xtan5x
ta được:
tan2x=tan3x+tan5x1−tan3x.tan5x=tan(3x+5x)=tan8x
Áp dụng phương trình lượng giác cơ bản:
8x=2x+kπ;k∈Z⇔6x=kπ;k∈Z⇔x=kπ6;k∈Z