Rút gọn biểu thức: A = sin3x.sin^3x + cos3x.cos^3x

Để rút gọn biểu thức A = sin3x.sin^3x + cos3x.cos^3x, ta sử dụng công thức nhân hai cosin và sin:

sin(a).sin(b) = (1/2)[cos(a-b) - cos(a+b)]
cos(a).cos(b) = (1/2)[cos(a-b) + cos(a+b)]

Áp dụng công thức trên vào biểu thức A, ta có:

A = sin3x.sin^3x + cos3x.cos^3x
= (1/2)[cos(3x-3x) - cos(3x+3x)].sin^3x + (1/2)[cos(3x-3x) + cos(3x+3x)].cos^3x
= (1/2)[cos(0) - cos(6x)].sin^3x + (1/2)[cos(0) + cos(6x)].cos^3x
= (1/2)[1 - cos(6x)].sin^3x + (1/2)[1 + cos(6x)].cos^3x

Tiếp theo, ta sử dụng công thức cos(2a) = 2cos^2(a) - 1 để rút gọn biểu thức:

cos(6x) = cos(2 * 3x)
= 2cos^2(3x) - 1

Thay vào biểu thức A, ta có:

A = (1/2)[1 - (2cos^2(3x) - 1)].sin^3x + (1/2)[1 + (2cos^2(3x) - 1)].cos^3x
= (1/2)[1 - 2cos^2(3x) + 1].sin^3x + (1/2)[1 + 2cos^2(3x) - 1].cos^3x
= (1/2)[2 - 2cos^2(3x)].sin^3x + (1/2)[2cos^2(3x)].cos^3x
= sin^3x - cos^2(3x).sin^3x + cos^2(3x).cos^3x
= sin^3x + cos^2(3x)(cos^3x - sin^3x)

Vậy, biểu thức đã được rút gọn thành A = sin^3x + cos^2(3x)(cos^3x - sin^3x).