Để chứng minh các phương trình và bài toán, ta sẽ sử dụng định lí Pythagoras và định lí Euclid.

a) Ta có tam giác vuông MEF và tam giác vuông MAB có cạnh chung ME và MA. Theo định lí Pythagoras, ta có:

ME^2 + MF^2 = EF^2
MA^2 + MB^2 = AB^2

Vì tam giác vuông MEF và tam giác vuông MAB có cạnh chung ME và MA, nên EF = AB. Do đó:

ME^2 + MF^2 = EF^2 = AB^2 = MA^2

b) Ta có tam giác vuông MAF và tam giác vuông MCD có cạnh chung MA và MC. Theo định lí Pythagoras, ta có:

MA^2 + MF^2 = AF^2
MC^2 + MD^2 = CD^2

Vì tam giác vuông MAF và tam giác vuông MCD có cạnh chung MA và MC, nên AF = CD. Do đó:

MA^2 + MC^2 = AF^2 = CD^2 = MD^2

c) Ta có tam giác vuông MAF và tam giác vuông MBK có cạnh chung MA và MB. Theo định lí Pythagoras, ta có:

MA^2 + MF^2 = AF^2
MB^2 + MK^2 = BK^2

Vì tam giác vuông MAF và tam giác vuông MBK có cạnh chung MA và MB, nên AF = BK. Do đó:

MA^2 + MF^2 = AF^2 = BK^2

Tuy nhiên, để chứng minh góc BKD = 90 độ, ta cần thêm thông tin về vị trí của điểm K trong hình chữ nhật ABCD.