Để chứng minh rằng biểu thức [(1+2+3+4+...+n)-4] không chia hết cho 10 với mọi số tự nhiên n, ta sẽ sử dụng phương pháp quy nạp.

Đầu tiên, ta kiểm tra biểu thức với n = 1:
[(1) - 4] = -3
-3 không chia hết cho 10.

Giả sử biểu thức [(1+2+3+4+...+n)-4] không chia hết cho 10 với mọi số tự nhiên n.

Ta sẽ chứng minh rằng biểu thức [(1+2+3+4+...+n+1)-4] cũng không chia hết cho 10.

Ta có:
[(1+2+3+4+...+n+1)-4] = [(1+2+3+4+...+n) + (n+1) - 4]
= [(1+2+3+4+...+n) - 4] + (n+1)

Vì giả thiết định lý đúng với n, nên [(1+2+3+4+...+n) - 4] không chia hết cho 10. Gọi k là phần dư khi chia [(1+2+3+4+...+n) - 4] cho 10, tức là [(1+2+3+4+...+n) - 4] = 10a + k, với a là một số nguyên.

Khi đó, ta có:
[(1+2+3+4+...+n+1)-4] = (10a + k) + (n+1)
= 10a + (k + n + 1)

Để chứng minh rằng biểu thức [(1+2+3+4+...+n+1)-4] không chia hết cho 10, ta cần chứng minh rằng (k + n + 1) không chia hết cho 10.

Giả sử (k + n + 1) chia hết cho 10, tức là (k + n + 1) = 10b, với b là một số nguyên.

Khi đó, ta có:
[(1+2+3+4+...+n+1)-4] = 10a + (k + n + 1)
= 10a + 10b
= 10(a + b)

Vậy, biểu thức [(1+2+3+4+...+n+1)-4] chia hết cho 10, điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu.

Do đó, ta kết luận rằng biểu thức [(1+2+3+4+...+n)-4] không chia hết cho 10 với mọi số tự nhiên n.