Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O)

Để chứng minh a, ta sử dụng định lí Ptolemy trong tam giác AXY:
AX * MY + AY * MX = XY * AM
Vì AX = AY (vì A là tiếp điểm của đường tiếp tuyến MB và MC), nên ta có:
AX * MY + AX * MX = XY * AM
AX * (MY + MX) = XY * AM
Vì MY + MX = BY + MX = BX = AM (vì A, B, X, Y cùng thuộc đường tròn (O)), nên ta có:
AX * (MY + MX) = XY * AM
AX * AM = XY * AM
AX = XY
Vậy ta có XY = AX + BY.

Để chứng minh b, ta sử dụng định lí Ptolemy trong tam giác AXY:
AX * MY + AY * MX = XY * AM
Vì AX = AY (vì A là tiếp điểm của đường tiếp tuyến MB và MC), nên ta có:
AX * MY + AX * MX = XY * AM
AX * (MY + MX) = XY * AM
Vì MY + MX = BY + MX = BX = AM (vì A, B, X, Y cùng thuộc đường tròn (O)), nên ta có:
AX * (MY + MX) = XY * AM
AX * AM = XY * AM
AX = XY
Vậy ta có XY = AX + BY = AX + MY + BY = AM + MY
Vậy chu vi tam giác MXY bằng 2(MA + MY).