Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B và C là các tiếp điểm). Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O)

Để chứng minh BOC = 2DOE, ta sẽ sử dụng định lí góc nội tiếp.

Gọi góc BOC là α và góc DOE là β.

Ta có:
Góc BAC = góc BCA (vì AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O))
Góc BAC = góc BMA (vì AB và AM là hai tiếp tuyến của đường tròn (O))
Góc BMA = góc BDA (vì AB và AD là hai tiếp tuyến của đường tròn (O))
Góc BDA = góc BDO (vì BD là tiếp tuyến của đường tròn (O))
Góc BDO = góc BCO (vì BD và BC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O))

Tương tự, ta có:
Góc CAE = góc CEA = góc CMA = góc CEA = góc CEO = góc CBO

Do đó, ta có:
Góc BOC = góc BCO = góc BDO + góc CBO = góc BDA + góc CEA = góc BMA + góc CMA = góc BAC

Từ đó, ta có:
Góc BOC = góc BAC

Vì góc BAC là góc nội tiếp nằm trên cung nhỏ BC, nên góc BOC cũng là góc nội tiếp nằm trên cung nhỏ BC.

Tương tự, ta có:
Góc DOE = góc CAE = góc CEA = góc CMA = góc CEA = góc CEO = góc CBO

Vì góc CBO là góc nội tiếp nằm trên cung nhỏ BC, nên góc DOE cũng là góc nội tiếp nằm trên cung nhỏ BC.

Vậy, ta có:
Góc BOC = góc BAC = 2 * góc CAE = 2 * góc DOE

Từ đó, ta chứng minh được rằng BOC = 2DOE.