1) Gọi h là chiều cao của cột tháp.
Theo đề bài, ta có:
tan(51°) = h/48
=> h = 48 * tan(51°) ≈ 61.33 (mét)
Vậy chiều cao của cột tháp là 61 mét (làm tròn đến mét).

2) a) Ta có tam giác ABC vuông tại A, với AB < AC.
Theo định lý Pythagoras, ta có:
BC² = AB² + AC²
=> BC² = 6² + 8²
=> BC² = 36 + 64
=> BC² = 100
=> BC = 10 (cm)

Do đó, BC = 10 cm.

Gọi AH = x.
Theo định lý Pythagoras, ta có:
AH² = AB² - BH²
=> x² = 6² - BC²
=> x² = 36 - 100
=> x² = -64 (vô lý vì không thể có số âm)
Vậy không tồn tại giá trị của x thỏa mãn.

Số đo các góc B, C:
Gọi B là góc tại B và C là góc tại C.
Ta có:
B + C + 90° = 180° (tổng các góc trong tam giác)
=> B + C = 90°

b) Ta có:
AM là đường cao của tam giác ABC, nên AM vuông góc với BC.
AN là đường cao của tam giác ABC, nên AN vuông góc với BC.
Vậy AM và AN đồng quy với BC.

c) Gọi D là trung điểm của BC.
Ta cần chứng minh AD vuông góc với MN và D nằm trên MN.
Vì MN vuông góc với AB và AC, nên MN cũng vuông góc với đường thẳng qua A và song song với BC.
Vậy AD vuông góc với MN.

Do D là trung điểm của BC, nên BD = DC.
Vậy ta có:
BD = DC
=> BD/BC = DC/BC
=> BD/10 = DC/10
=> BD = DC
Vậy D là trung điểm của BC.