Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác và đường cao.

a) CH vuông góc với AB:
Ta có tam giác ABC có đường cao AI, vậy ta có:
∠CAI = 90° (1)

Từ đó, ta có:
∠CAM = ∠CAI - ∠MAI = 90° - ∠MAI (2)

Vì Ax vuông góc với AC, nên ta có:
∠CAM = ∠MAx (3)

Từ (2) và (3), ta có:
∠MAx = 90° - ∠MAI (4)

Vì By // AC, nên ta có:
∠BAC = ∠BBy (5)

Từ (4) và (5), ta có:
∠BBy = 90° - ∠MAI (6)

Vì MP cắt AC tại Q, nên ta có:
∠QMP = ∠QAC (7)

Vì P là trung điểm của AB, nên ta có:
AP = PB (8)

Từ (7) và (8), ta có:
∠QMP = ∠QAC = ∠PBA (9)

Từ (9), ta có:
∠QMP = ∠PBA (10)

Vì tam giác ABC có đường cao AI, nên ta có:
∠BAI = ∠BAC (11)

Từ (10) và (11), ta có:
∠QMP = ∠PBA = ∠BAI (12)

Vậy tam giác CHA vuông góc với AB.

b) Tam giác PIQ cân:
Ta có P là trung điểm của AB, nên ta có:
AP = PB (13)

Vì M là giao điểm của tia Ax và tia By, nên ta có:
∠MAB = ∠MBA (14)

Vì tam giác ABC có đường cao AI, nên ta có:
∠BAI = ∠BAC (15)

Từ (14) và (15), ta có:
∠MAB = ∠MBA = ∠BAI (16)

Vì tam giác ABC có đường cao AI, nên ta có:
∠CAI = ∠CBA (17)

Từ (16) và (17), ta có:
∠CAI = ∠CBA = ∠MAB (18)

Vì tam giác ABC có đường cao AI, nên ta có:
∠CIA = ∠CBA (19)

Từ (18) và (19), ta có:
∠CIA = ∠CBA = ∠MAB (20)

Vì tam giác ABC có đường cao AI, nên ta có:
∠CIA = ∠CAI (21)

Từ (20) và (21), ta có:
∠CIA = ∠CAI = ∠MAB (22)

Vậy tam giác PIQ cân.

Như vậy, ta đã chứng minh được:
a) CH vuông góc với AB
b) Tam giác PIQ cân.