Để giải phương trình cos(x-π/6) + sin2x = 0, ta sẽ sử dụng các công thức trigonometry để đơn giản hóa phương trình.

Đầu tiên, sử dụng công thức cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b), ta có:
cos(x-π/6) = cos(x)cos(π/6) + sin(x)sin(π/6)
= cos(x)√3/2 + sin(x)/2

Tiếp theo, sử dụng công thức sin2x = 2sin(x)cos(x), ta có:
sin2x = 2sin(x)cos(x)

Thay vào phương trình ban đầu, ta có:
cos(x)√3/2 + sin(x)/2 + 2sin(x)cos(x) = 0

Để đơn giản hóa phương trình, ta nhân cả hai vế của phương trình với 2:
2cos(x)√3 + sin(x) + 4sin(x)cos(x) = 0

Tiếp theo, sử dụng công thức sin(2x) = 2sin(x)cos(x), ta có:
2cos(x)√3 + sin(x) + 2sin(2x) = 0

Thay thế sin(2x) = 2sin(x)cos(x), ta có:
2cos(x)√3 + sin(x) + 4sin(x)cos(x) = 0

Tiếp theo, nhóm các thành phần chứa sin(x) và cos(x):
(4cos(x) + 1)sin(x) + 2√3cos(x) = 0

Để phương trình trở thành 0, ta có hai trường hợp:

1. (4cos(x) + 1) = 0
=> cos(x) = -1/4
=> x = arccos(-1/4) + 2kπ hoặc x = -arccos(-1/4) + 2kπ, với k là số nguyên.

2. 2√3cos(x) = 0
=> cos(x) = 0
=> x = π/2 + kπ, với k là số nguyên.

Vậy, các giá trị của x thỏa mãn phương trình cos(x-π/6) + sin2x = 0 là:
x = arccos(-1/4) + 2kπ, -arccos(-1/4) + 2kπ, π/2 + kπ, với k là số nguyên.