Ta có công thức tổng của dãy số hình học: S = a(1 - r^n)/(1 - r), trong đó a là số hạng đầu tiên, r là công bội và n là số lượng số hạng.

Áp dụng công thức trên, ta có:
A = 1 + 4 + 4^2 + ... + 4^58 + 4^59
= (4^60 - 1)/(4 - 1)
= (4^60 - 1)/3

Ta cần chứng minh rằng (4^60 - 1) chia hết cho 3 và 105.

Đầu tiên, ta chứng minh rằng (4^60 - 1) chia hết cho 3.
Ta biểu diễn 4^60 thành (3 + 1)^60 bằng công thức nhị thức Newton:
4^60 = (3 + 1)^60 = C(60, 0) * 3^60 + C(60, 1) * 3^59 + ... + C(60, 59) * 3^1 + C(60, 60) * 3^0

Các số hạng C(60, k) * 3^k với k từ 1 đến 59 đều chia hết cho 3, do đó ta chỉ cần quan tâm đến số hạng đầu tiên và cuối cùng:
C(60, 0) * 3^60 + C(60, 60) * 3^0 = 1 * 3^60 + 1 * 3^0 = 3^60 + 1

Vì 3^60 chia hết cho 3, nên (4^60 - 1) chia hết cho 3.

Tiếp theo, ta chứng minh rằng (4^60 - 1) chia hết cho 105.
Ta biểu diễn 4^60 thành (105 - 1)^60 bằng công thức nhị thức Newton:
4^60 = (105 - 1)^60 = C(60, 0) * 105^60 + C(60, 1) * 105^59 + ... + C(60, 59) * 105^1 + C(60, 60) * 105^0

Các số hạng C(60, k) * 105^k với k từ 1 đến 59 đều chia hết cho 105, do đó ta chỉ cần quan tâm đến số hạng đầu tiên và cuối cùng:
C(60, 0) * 105^60 + C(60, 60) * 105^0 = 1 * 105^60 + 1 * 105^0 = 105^60 + 1

Vì 105^60 chia hết cho 105, nên (4^60 - 1) chia hết cho 105.

Vậy ta đã chứng minh được rằng A chia hết cho 105.