Tính p=4a+b

Bắt đầu với giới hạn x→−∞, ta có:

lim x→−∞ (a√(x^2+1) + 2023)/(x - 2024) = 1/2

Ta nhận thấy rằng khi x tiến đến âm vô cùng, căn bậc hai trong biểu thức a√(x^2+1) sẽ trở nên không quan trọng. Do đó, ta có thể xem x^2+1 như x^2 trong biểu thức này. Khi đó, biểu thức trở thành:

lim x→−∞ (ax + 2023)/(x - 2024) = 1/2

Áp dụng quy tắc l'Hôpital, ta có:

lim x→−∞ a/(1) = 1/2

Vì giới hạn này phải xảy ra với mọi x tiến đến âm vô cùng, nên a = 1/2.

Tiếp theo, ta xét giới hạn x→+∞:

lim x→+∞ (√(x^2+bx+1) - 1) = 2

Tương tự, khi x tiến đến dương vô cùng, căn bậc hai trong biểu thức √(x^2+bx+1) trở nên không quan trọng. Do đó, ta có thể xem x^2+bx+1 như x^2 trong biểu thức này. Khi đó, biểu thức trở thành:

lim x→+∞ (√(x^2) - 1) = 2

lim x→+∞ (x - 1) = 2

Vì giới hạn này phải xảy ra với mọi x tiến đến dương vô cùng, nên x - 1 = 2 và x = 3.

Từ đó, ta có:

p = 4a + b = 4(1/2) + 3 = 2 + 3 = 5