Chứng minh các đa thức sau vô nghiệm f(x) = -x^2 - |x+5| -1

Để chứng minh rằng đa thức f(x) = -x^2 - |x+5| - 1 không có nghiệm, ta sẽ chứng minh rằng f(x) < 0 với mọi giá trị x.

Đầu tiên, ta xét trường hợp x ≤ -5. Khi đó, |x+5| = -(x+5), vì x+5 ≤ 0. Vì vậy, đa thức f(x) = -x^2 - |x+5| - 1 = -x^2 + (x+5) - 1 = -x^2 + x + 4. Để chứng minh rằng f(x) < 0 với mọi x ≤ -5, ta sẽ chứng minh rằng đa thức -x^2 + x + 4 < 0 với mọi x ≤ -5.

Đa thức -x^2 + x + 4 là một đa thức bậc 2, với hệ số của x^2 là -1. Vì hệ số của x^2 là âm, nên đa thức này có hình dạng của một đa thức hàm nghịch biến. Điều này có nghĩa là đa thức sẽ đạt giá trị lớn nhất tại x = -b/2a, trong đó a là hệ số của x^2 và b là hệ số của x. Trong trường hợp này, a = -1 và b = 1, nên x = -1/(-2) = 1/2.

Khi x ≤ -5, ta có x < 1/2, vì vậy đa thức -x^2 + x + 4 < 0 với mọi x ≤ -5. Do đó, f(x) = -x^2 - |x+5| - 1 < 0 với mọi x ≤ -5.

Tiếp theo, ta xét trường hợp -5 < x < 0. Khi đó, |x+5| = x+5, vì x+5 > 0. Vì vậy, đa thức f(x) = -x^2 - |x+5| - 1 = -x^2 - (x+5) - 1 = -x^2 - x - 6. Để chứng minh rằng f(x) < 0 với mọi -5 < x < 0, ta sẽ chứng minh rằng đa thức -x^2 - x - 6 < 0 với mọi -5 < x < 0.

Đa thức -x^2 - x - 6 là một đa thức bậc 2, với hệ số của x^2 là -1. Vì hệ số của x^2 là âm, nên đa thức này có hình dạng của một đa thức hàm nghịch biến. Điều này có nghĩa là đa thức sẽ đạt giá trị lớn nhất tại x = -b/2a, trong đó a là hệ số của x^2 và b là hệ số của x. Trong trường hợp này, a = -1 và b = -1, nên x = -(-1)/(-2) = 1/2.

Khi -5 < x < 0, ta có x < 1/2, vì vậy đa thức -x^2 - x - 6 < 0 với mọi -5 < x < 0. Do đó, f(x) = -x^2 - |x+5| - 1 < 0 với mọi -5 < x < 0.

Cuối cùng, ta xét trường hợp x ≥ 0. Khi đó, |x+5| = x+5, vì x+5 ≥ 0. Vì vậy, đa thức f(x) = -x^2 - |x+5| - 1 = -x^2 - (x+5) - 1 = -x^2 - x - 6. Để chứng minh rằng f(x) < 0 với mọi x ≥ 0, ta sẽ chứng minh rằng đa thức -x^2 - x - 6 < 0 với mọi x ≥ 0.

Đa thức -x^2 - x - 6 là một đa thức bậc 2, với hệ số của x^2 là -1. Vì hệ số của x^2 là âm, nên đa thức này có hình dạng của một đa thức hàm nghịch biến. Điều này có nghĩa là đa thức sẽ đạt giá trị lớn nhất tại x = -b/2a, trong đó a là hệ số của x^2 và b là hệ số của x. Trong trường hợp này, a = -1 và b = -1, nên x = -(-1)/(-2) = 1/2.

Khi x ≥ 0, ta có x ≥ 1/2, vì vậy đa thức -x^2 - x - 6 < 0 với mọi x ≥ 0. Do đó, f(x) = -x^2 - |x+5| - 1 < 0 với mọi x ≥ 0.

Từ các trường hợp trên, ta có thể kết luận rằng đa thức f(x) = -x^2 - |x+5| - 1 không có nghiệm, vì f(x) < 0 với mọi giá trị x.