Cho tam giác ABC có góc A bằng 90 độ, trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BA = BE. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D

a) Ta có góc ABD là góc phân giác của góc BAC, do đó tam giác ABD bằng tam giác ABC (cạnh chung AB và góc phân giác BAC bằng nhau).
Vì DE là tia phân giác của góc B, nên góc ADE cũng bằng góc BDE.
Vì tam giác ABD là tam giác vuông tại D, nên góc ADE cũng bằng góc BDE.
Do đó, ta có tam giác ADE bằng tam giác BDE (cạnh chung DE và hai góc bằng nhau).

b) Gọi F là giao điểm của AB và DE. Ta cần chứng minh AF = CE.
Vì tam giác ABD bằng tam giác ABC (chứng minh ở câu a), nên BA = BE.
Vì tam giác ADE bằng tam giác BDE (chứng minh ở câu a), nên AD = DE.
Vì tam giác ADF bằng tam giác CEF (cạnh chung AF và CE, cạnh AD và DE bằng nhau, góc ADF và góc CEF bằng nhau là góc phân giác của góc B), nên AF = CE.

c) Gọi I là trung điểm của CF. Ta cần chứng minh ba điểm B, D, I thẳng hàng.
Vì tam giác ABD bằng tam giác ABC (chứng minh ở câu a), nên BA = BE.
Vì tam giác ADE bằng tam giác BDE (chứng minh ở câu a), nên AD = DE.
Vì I là trung điểm của CF, nên CI = IF.
Vì tam giác ACF bằng tam giác BCF (cạnh chung AC và BC bằng nhau, góc ACF và góc BCF bằng nhau là góc phân giác của góc B), nên AF = BF.
Vì tam giác ADF bằng tam giác CEF (chứng minh ở câu b), nên AF = CE.
Từ đó, ta có BA = BE = AF = CE.
Vì AD = DE, nên tam giác ABD bằng tam giác CDE (cạnh chung AB và DE bằng nhau, cạnh AD và DE bằng nhau).
Vì tam giác ABD bằng tam giác CDE và CI là trung điểm của CF, nên ta có B, D, I thẳng hàng.

d) Ta cần chứng minh góc BAE = góc EAC = góc ECA.
Vì tam giác ABD bằng tam giác ABC (chứng minh ở câu a), nên BA = BE.
Vì tam giác ADE bằng tam giác BDE (chứng minh ở câu a), nên AD = DE.
Vì tam giác ADF bằng tam giác CEF (chứng minh ở câu b), nên góc ADF = góc CEF.
Vì tam giác ACF bằng tam giác BCF (cạnh chung AC và BC bằng nhau, góc ACF và góc BCF bằng nhau là góc phân giác của góc B), nên góc ACF = góc BCF.
Từ đó, ta có góc BAE = góc EAC = góc ECA.