Cho tam giác ABC có góc A = 90⁰. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D sao cho AD = AB

a) Ta có BE = BA và AD = AB, suy ra tam giác ABE và tam giác ABD là tam giác cân tại A. Do đó, ta có AE = AD và góc AED = góc ADB.

Gọi I là giao điểm của tia phân giác của góc B và AC. Ta cần chứng minh BI = ID.

Vì tam giác ABE và tam giác ABD là tam giác cân, nên ta có góc BAE = góc BAD.

Từ đó, ta có góc BAI = góc DAI (vì I nằm trên tia phân giác của góc B).

Vì góc AED = góc ADB, nên ta có góc DAI = góc BDI (vì AD = AB).

Do đó, ta có góc BAI = góc BDI.

Vì góc BAI = góc BDI và góc ABI = góc DBI (vì tam giác ABE và tam giác ABD là tam giác cân), nên ta có tam giác ABI và tam giác DBI là tam giác đồng dạng.

Vì vậy, ta có BI/ID = AB/AD = 1/1 = 1.

Do đó, BI = ID.

b) Ta đã chứng minh trong câu a) rằng tam giác ABI và tam giác DBI là tam giác đồng dạng.

Vì vậy, ta có góc BAI = góc BDI và góc ABI = góc DBI.

Do đó, tam giác IBE và tam giác IDC là tam giác đồng dạng.

c) Ta đã chứng minh trong câu a) rằng tam giác ABI và tam giác DBI là tam giác đồng dạng.

Vì vậy, ta có góc ABI = góc DBI.

Do đó, ta có BD // EC.

d) Gọi góc ACB là x.

Vì tam giác ABC có góc A = 90⁰, nên ta có góc BAC = 90⁰ - x.

Vì tam giác ABE là tam giác cân, nên ta có góc AEB = góc ABE = (180⁰ - góc BAE)/2 = (180⁰ - (90⁰ - x))/2 = (90⁰ + x)/2 = 45⁰ + x/2.

Vì tam giác ABD là tam giác cân, nên ta có góc ADB = góc ABD = (180⁰ - góc BAD)/2 = (180⁰ - (90⁰ - x))/2 = (90⁰ + x)/2 = 45⁰ + x/2.

Vì góc AED = góc ADB, nên ta có góc AED = 45⁰ + x/2.

Vì tam giác AED là tam giác cân, nên ta có góc EAD = góc EDA = (180⁰ - góc AED)/2 = (180⁰ - (45⁰ + x/2))/2 = (135⁰ - x/2)/2 = 67.5⁰ - x/4.

Vì tam giác ABE là tam giác cân, nên ta có góc AEB = góc ABE = (180⁰ - góc BAE)/2 = (180⁰ - (90⁰ - x))/2 = (90⁰ + x)/2 = 45⁰ + x/2.

Vì góc EAD = góc AEB, nên ta có góc EAD = 45⁰ + x/2.

Vì vậy, ta có góc AED = góc EAD = 45⁰ + x/2.

Do đó, tam giác AED là tam giác cân.

Vì vậy, ta có AE = AD.

Vì AE = AD và BE = BA, nên ta có AB + BI = AE + ID = AD + ID = AI = AC.

Do đó, AB + BI = AC.