a. Để chứng minh rằng A chia hết cho 7, ta sẽ sử dụng định lí chia hết của dãy số.

Định lí chia hết của dãy số: Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c, thì a chia hết cho c.

Trong trường hợp này, ta có:
A = 1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^60

Ta thấy rằng mỗi số trong dãy 2^2, 2^3, 2^4, ... đều chia hết cho 7, vì 2^2 = 4, 2^3 = 8, 2^4 = 16, ... đều chia hết cho 7.

Vậy, ta có thể viết lại A như sau:
A = 1 + (2^2) + (2^3) + (2^4) + ... + (2^60)
= 1 + (7 - 3) + (7 - 1) + (7 + 1) + ... + (7 + 57)

Ta thấy rằng các số trong dấu ngoặc đều chia hết cho 7, nên tổng của chúng cũng chia hết cho 7.

Vậy, A chia hết cho 7.

b. Để tính tổng A, ta sử dụng công thức tổng của dãy số hình học:

S = a * (r^n - 1) / (r - 1)

Trong trường hợp này, a = 1, r = 2, n = 61 (vì có 61 số từ 2^0 đến 2^60).

S = 1 * (2^61 - 1) / (2 - 1)
= 2^61 - 1

Vậy, tổng A là 2^61 - 1.